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第五节综合法与分析法、反证法考纲传真1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点(对应学生用书第89页) 基础知识填充1直接证明内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法.从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法思维过程由因导果执果索因框图表示书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2要证a2b21a2b20 ，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根A“方程x2axb0至少有一个实根”的反面是“方程x2axb0没有实根”，故选A4已知a，b，x均为正数，且ab，则与的大小关系是_0，.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形 【导学号：00090218】等边由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形(对应学生用书第90页)综合法对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函数 【导学号：00090219】解(1)证明：取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.2分又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.5分(2)对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x(x0,1)不是理想函数.7分对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.对任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数.9分对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，有f(x1x2)2f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f(x1x2)2f(x1)f(x2)2，f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数.11分综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数.12分规律方法综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练1已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函数yg(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)解(1)f(x)，g(x)bxx2，2分由题意得解得a0，b1.5分(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)h(x)x2x1.8分所以h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).12分分析法已知a0，求证：a2.证明要证a2，只需要证2a.2分因为a0，故只需要证22，即a244a2222，8分从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立12分规律方法1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性变式训练2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，C求证：. 【导学号：00090220】证明要证，即证3，也就是1，3分只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，5分又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，10分即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.12分反证法设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn5分(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.8分a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列.12分规律方法用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练3已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根证明假设三个方程都没有实数根，则6分a1.10分这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立12分
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