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课时分层训练课时分层训练( (六十七六十七) )几何概型几何概型A A 组基础达标一、选择题1在区间0，上随机取一个实数x，使得 sinx0，12 的概率为()A.1B.2C.13D.23C C由 0sinx12，且x0，解得x0，6 56，.故所求事件的概率P5660013.2若将一个质点随机投入如图 1066 所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图 1066A.2B.4C.6D.8B B设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)阴影面积长方形面积1212124.3(20 xx深圳二调)设实数a(0,1)，则函数f(x)x2(2a1)xa21 有零点的概率为()【导学号：79140364】A.34B.23C.13D.14D D由函数f(x)x2(2a1)xa21 有零点，可得(2a1)24(a21)4a30， 解得a34， 即有34a1， 结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P1341014，故选 D.4(20 xx湖北调考)已知圆C：x2y24，直线l：yx，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于 1 的概率为()A.34B.23C.12D.13D D如图所示，设与yx平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线yx的距离相等，过点A作AE垂直于直线yx，垂足为E，当点A到直线yx的距离为 1时，AE1，又CA2，则ACE6，所以ACBFCD3，所以所求概率P23213，故选 D.5 已知正三棱锥SABC的底面边长为 4， 高为 3， 在正三棱锥内任取一点P， 使得VPABC12VSABC的概率是()A.78B.34C.12D.14A A当点P到底面ABC的距离小于32时，VPABC12VSABC.由几何概型知，所求概率为P112378.6(20 xx西宁检测(一)已知平面区域D1(x，y)|x|2，|y|2，D2(x，y)|(x2)2(y2)24，在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是()A.14B.4C.16D.32C C平面区域D1是边长为 4 的正方形，面积是 16，其中区域D1与D2的公共部分是半径为 2 的14圆，其面积为1422，则所求概率为16，故选 C.7(20 xx全国卷)从区间0,1内随机抽取 2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC C因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于 1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得S扇形S正方形mn，即4mn，所以4mn.二、填空题8.如图 1067 所示，在直角坐标系内，射线OT落在 30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_图 106716如题图， 因为射线OA在坐标系内是等可能分布的， 则OA落在yOT内的概率为6036016.9一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于 1， 称其为“安全飞行”， 则蜜蜂“安全飞行”的概率为_127由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P1333127.10正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图 1068 所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_.【导学号：79140365】图 10682 23 3由对称性，S阴影4错误错误!(1x2)dx4xx33|1083.又 S正方形 ABCD224，由几何概型，质点落在阴影区域的概率 PS阴S正方形 ABCD23.B B 组能力提升11设复数z(x1)yi(x，yR R)，若|z|1，则yx的概率为()A.3412B.121C.121D.1412D D|z| (x1)2y21，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示当|z|1 时，yx表示的是图中阴影部分因为S圆12，S阴影4121224.故所求事件的概率PS阴影S圆241412.12 在区间0,1上随机取两个数x，y， 记p1为事件“xy12”的概率，p2为事件“xy12”的概率，则()Ap1p212Bp212p1C12p2p1Dp112p2D D如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为 1.事件“xy12”对应的图形为阴影ODE(如图(1)，其面积为12121218，故p11812，则p112p2，故选 D.13. (20 xx太原模拟(二)如图 1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形， 中间空出一个小正方形组成的图形， 若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图 1069A.55B.2 55C.15D.33B B设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为，4，2 ，则小正方形的面积为a2412acosasina2a2sin 2，则由题意，得a2a2sin 2a215，解得 sin 245.因为4，2 ，所以 sincos 1sin 235，sincos 1sin 215.由解得 sin2 55，故选 B.14 (20 xx贵州适应性考试)已知区域(x，y)|x| 2， 0y 2， 由直线x3，x3，曲线ycosx与x轴围成的封闭图形所表示的区域记为A.若在区域内随机取一点P，则点P在区域A内的概率为()A.24B.12C.34D.64C C区域(x，y)|x| 2，0y 2对应的区域是矩形，面积为 2 2 24，区域A的面积为2错误错误!cosxdx2sin3 3，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P34，故选C.15在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，ABAC 3，BAC120，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为，则不大于 45的概率为_.【导学号：79140366】23因为 tanPAAD1AD1，所以AD1.在等腰三角形ABC中，当BD1 或CD1 时，AD1，又BC3，故所求概率为23.16.如图 10610，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_图 1061012设球的半径为R，则所求的概率为PV锥V球13122R2RR43R312.
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