新编三年模拟一年创新高考数学复习 第八章 第七节 空间角与距离 理全国通用

第七第七节节空间角与距离空间角与距离A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1 (20 xx泰安模拟)已知向量m m，n n分别是直线l和平面的方向向量和法向量， 若 cos m m，n n12，则l与所成的角为()A30B60C120D150解析设l与所成角为，cosm m，n n12，又直线与平面所成角满足 090，sin|12|.30.答案A2(20 xx广州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则 sinCM，D1N的值为()A.19B.4 59C.2 59D.23解析设正方体棱长为 2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM(2，2，1)，D1N(2，2，1)，cosCM，D1N19，sinCM，D1N4 59.答案B3(20 xx石家庄调研)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.32B.22C.2 23D.2 33解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1A1(2，0，0)，DA1(2，0，2)，DB(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n n(x，y，z)，则n nDA12x2z0，n nDB2x2y0.令x1，则n n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距离d|D1A1n n|n n|232 33.答案D4(20 xx江西南昌质检)二面角l等于 120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A. 2B. 3C2D. 5解析如图，二面角l等于 120，CA与BD夹角为 60.由题设知，CAAB，ABBD，|AB|AC|BD|1，|CD|2|CAABBD|2|CA|2|AB|2|BD|22CAAB2ABBD2CABD32cos 604，|CD|2.答案C二、填空题5(20 xx青岛模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n nA1B0，n nA1C10，即2yz0 x2y0，令z2，则y1，x2，于是n n(2，1，2)，D1C1(0，2，0)，sin|cosn n，D1C1|13.答案13一年创新演练6已知正方形ABCD的边长为 4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则CG(0，0，2)，由题意可求得平面GEF的一个法向量为n n(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d|n nCG|n n|6 1111.答案6 11117如图，三棱锥PABC中，PAPBPC 3，CACB2，ACBC.(1)求点B到平面PAC的距离；(2)求二面角CPAB的余弦值解取AB中点O，连接OP，CO，CACB 2，ACB90，COAB，且AB2，CO1.PAPB 3，POAB，且POPA2AO2 2.PO2OC23PC2，POC90，即POOC.OA，OC，OP两两垂直如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0， 2)(1)设平面PAC的一个法向量为n n(x，y，1)，则n nAC0，n nPA0.AC(1，1，0)，PA(1，0， 2)，xy0，x 20，xy 2，n n( 2， 2，1)AB(2，0，0)，点B到平面PAC的距离为d|n nAB|n n|2 22212 105.(2)OC(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn n，OC2221105.综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角，二面角CPAB的余弦值为105.B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8(20 xx宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.32解析法一取A1C1的中点E，连接AE、B1E.由题易知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为 1，则 sinB1AEB1EAB132264，故选 A.法二如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为 1，则A(12，0，1)，B1(0，32，0)，设AB1与面ACC1A1所成角为，则 sin|cosAB1，EB1|12，32，10，32，0232|64.答案A二、填空题9 (20 xx江苏徐州一模)将锐角A为 60， 边长为a的菱形ABCD沿BD折成 60的二面角，则A与C之间的距离为_解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.BDCE，BDA1E.A1EC为二面角A1BDC的平面角A1EC60，又A1ECE，A1EC是等边三角形A1ECEA1C32a.即折叠后点A与C之间的距离为32a.答案32a三、解答题10.(20 xx南京模拟)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点(1)求证：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)(1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)所以：MN(1，0，1)，AB(0，4，0)，MNAB0，MNAB.(2)设平面SND的一个法向量为m m(x，y，z)，则：m mSN0，且m mDN0.SN(0，2，2)，DN(1，2，0)，2y2z0，x2y0，即yz0，x2y.令z1，得：x2，y1，m m(2，1，1)又平面AND的法向量为n n(0，0，1)，cosm m，n nm mn n|m m|n n|66.由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为66.(3)AN(0，2，0)，点A到平面SND的距离d|ANm m|m m|63.11 (20 xx广东六校联盟模拟)如图， 将长为 4， 宽为 1 的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t0)，P是侧棱AA1上的动点(1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1；(2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值；(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为1010，试求实数t的值(1)证明连接A1C.AA1平面ABC，AB、AC平面ABC，AA1AC，AA1AB.又ABAC，以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，A1C(0，1，1)，AC1(0，1，1)，AB(1，0，0)设平面ABC1的法向量n n(x，y，z)，则n nAC1yz0，n nABx0，解得x0，yz.令z1，则n n(0，1，1)A1Cn n，A1C平面ABC1.(2)解AA1平面BB1C1C，点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离111P BCCA BCCCABCVVV16t2(32t)12t213t3(0t32)，Vt(t1)，令V0，得t0(舍去)或t1，列表得t(0，1)11，32V0V递增极大值递减当t1 时，Vmax16.(3)解A(0，0，0)，C1(0，t，32t)，B(t，0，0)，C(0，t，0)，A1(0，0，32t)，A1C(0，t，2t3)，AC1(0，t，32t)，AB(t，0，0)，CC1(0，0，32t)，BC(t，t，0)设平面ABC1的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)，则n n1 1AC1ty1（32t）z10，n n1ABtx10，解得x10，y12t3tz1，令z1t，则n n1(0，2t3，t)设平面BCC1的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，则n n2 2BCtx2ty20，n n2CC1（32t）z20，0t32，解得x2y2，z20.令y21，则n n2(1，1，0)设二面角ABC1C的平面角为，由图可知为锐角，则有|cos|n n1n n2|n n1|n n2|2t3|2t2（2t3）21010.化简得 5t216t120，解得t2(舍去)或t65.当 t65时，二面角 ABC1C 的平面角的余弦值为1010.