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1 1高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解导数概念的实际背景；2. 理解导数的几何意义；3. 会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如的导数）2.命题方向预测：预计高考对本节内容仍将坚持考查导数的计算及其几何意义，重点考查导数的几何意义，在复习中应予以关注.3.课本结论总结：导数定义包含可导条件和导数概念两层意思，在点处可导需满足三个条件：在点处及其附近有意义；左右极限存在，即与都存在；左右极限相等，即，三个条件缺一不可.用定义求导数的步骤如下“（1）计算函数的增量；（2）计算函数的增量与自变量增量的比值；（3）计算极限导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线和斜率，即.4.名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则进行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是由于求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环.5.课本经典习题：(1)新课标A版选修2-2第6页，例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：）为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【经典理由】结合具体的实例，给出了结论：反映了原油温度在时刻附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数可以描述瞬时变化率.(2) 新课标A版选修2-2第17页，例4 求下列函数的导数（1）；（2）；（3）其中，均为常数；【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有；（2）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有；（3）函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则有.【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法.6.考点交汇展示：(1)导数与函数图象相结合例1.【江苏省苏州市高三9月调研测试12】函数的图象经过四个象限的充要条件是 .【答案】【解析】由得：或，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是，即.(2)导数与不等式相结合例2. 【20xx高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【考点分类】热点1 导数的几何意义1. 【20xx高考重庆，理20(1)】 设函数若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；【答案】，切线方程为.2.【20xx江西高考理第14题】若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_.【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.3. 【20xx高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .【答案】【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得所以4.【20xx高考广东卷理第10题】曲线在点处的切线方程为 .【答案】或.【解析】，所求切线的斜率为，故所求切线的方程为，即.【方法规律】导数运算时，要注意以下几点：1. 尽可能的把原函数化为幂函数和的形式；2. 遇到三角函数求导时，往往要对原函数进行化简，从而可以减少运算量；3. 求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量.【方法规律】曲线的切线的求法：若已知曲线过点，求曲线过点的切线则需分点是切点和不是切点两种情况求解(1)点是切点的切线方程为(2)当点不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点的坐标代入切线方程求出；第四步：将的值代入方程可得过点的切线方程热点2 导数的几何意义的应用1.【普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.（1）求l的方程；（2）证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.【答案】（1）的方程：；（2）详见解析.2.【20xx高考重庆理科第20题】已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（1）确定的值； （2）若，判断的单调性；（3）若有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）增函数；（3）.3. 【20xx高考广东，理19】设，函数 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点； (3) 若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ， 即， 【解题技巧】导数的应用除研究切线方程外，还有许多应用，如：（1） 因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题；（2） 利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可.【易错点睛】利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外，在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题.【热点预测】1.若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ） A.4 B. C.2 D.【答案】D2.【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】设为实数，函数的导函数为，且是偶函数,则曲线在原点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知得，因为是偶函数，故，故切线斜率所以在原点处的切线方程为3. 【20xx全国2高考理第8题】设曲线在点处的切线方程为，则 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】因为，所以切线的斜率为，解得，故选D.4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为_. 【答案】【解析】， 切线方程 ，即.5.【河南省安阳一中高三第一次月考】已知，为抛物线上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_【答案】.6.曲线在处的切线方程为 .【答案】【解析】试题分析：根据题意切点的横坐标为0,因为切点在曲线上且,所以切点坐标为,对函数求导可得,又因为切线的斜率为导函数在切点处的导数值,所以切线的斜率为,则根据直线点斜式可以求的直线的方程为,故填.7.若曲线在点处的切线平行于轴,则_.【答案】【解析】求导得，由导数的几何意义可知，.8.【解析团队学易高考冲刺金卷36套（江苏版）预测卷】已知向量，若，则在处的切线方程为 【答案】【解析】由已知，时，即切点为.又，所以，切线的斜率为，由直线方程的点斜式得所求切线方程为.9.【高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且，则曲线在处的切线的斜率为 【答案】 10.【山东高三数学预测卷（理科）】已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上， 为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 【答案】 【解析】由导数的几何意义，又因为，所以，故.11.已知函数f(x)x(xa)lnx，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的极值;(2)若f(x)是区间内的单调函数，求实数a的取值范围;(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线yf(x)相切？请说明理由.【答案】（1）有极小值，无极大值.；（2）；(3)一条.【解析】（1）当时，所以在区间 内单调递减，在内单调递增，于是有极小值，无极大值，（2）易知在区间内单调递增，由题意可得在内无解，即或，解得实数的取值范围是，（3）设切点，则切线方程为.过原点，所以，化简得（）.设，则，所以在区间内单调递增.又，故方程()有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.12.【湖北省部分重点中学20xx-上学期高三起点考试21】已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率.Co(1) 若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围;(2) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) . 从而，故在上单调递增，实数的取值范围是. 13.【20xx安庆二模】已知函数（1）若有最值，求实数的取值范围；（2）当时，若存在，使得曲线在与处的切线互相平行，求证.【答案】（1）；（2）详见解析14.【20xx高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分
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