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1 1课时提升作业(二十六) 一、选择题1.(20xx宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()(A)-12a+32b (B)12a-32b(C)-32a-12b (D)-32a+12b2.(20xx蚌埠模拟)已知向量a=(1-sin,1),b=(12,1+sin),若ab,则锐角等于()(A)30(B)45(C)60(D)753.(20xx抚州模拟)原点O是正六边形ABCDEF的中心,OA=(-1,-3),OB=(1,-3),则OC等于()(A)(2,0)(B)(-2,0)(C)(0,-23)(D)(0,3)4.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)5.如图所示,已知AB=2BC,OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式中成立的是()(A)c=32b-12a(B)c=2b-a(C)c=2a-b(D)c=32a-12b6.(20xx西安模拟)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是()(A)m-2(B)m12(C)m1(D)m-1 7.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论:若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.其中正确结论的个数是()(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=OA+OB,其中,R且+=1,则点C的轨迹方程为()(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0(C)2x-y=0(D)x+2y-5=09.(20xx黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AD=CD=1,AB=3,动点P在BCD内运动(含边界),设AP=AD+AB,则+的最大值是()(A)34 (B)43 (C)32 (D)2310.已知a=(sin-cos,20xx),b=(sin+cos,1),且ab,则tan2-1cos2的值为()(A)-20xx(B)-12 014(C)20xx(D)12 014二、填空题11.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.12.如图,在ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M是BC的中点,则MN=(用a,b表示). 13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)c,则x=.14.(20xx合肥模拟)给出以下四个命题:四边形ABCD是菱形的充要条件是AB=DC,且|AB|=|AD|;点G是ABC的重心,则GA+GB+CG=0;若AB=3e1,CD=-5e1,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD是等腰梯形;若|AB|=8,|AC|=5,则3|BC|13.其中所有正确命题的序号为.三、解答题15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.(3)若(a+kc)(2b-a),求实数k.答案解析1.【解析】选B.设c=a+b,(-1,2)=(1,1)+(1,-1),-1=+,2=-,=12,=-32,c=12a-32b.2.【解析】选B.ab,(1-sin)(1+sin)-112=0,sin=22,又为锐角,=45.3.【解析】选A.在正六边形ABCDEF中,OABC为平行四边形,OB=OA+OC,OC=OB-OA=(2,0).4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=m+n=(-1,1)+(1,2)=(-+,+2),则由-+=2,+2=4,解得=0,=2.a=0m+2n,a在基底m,n下的坐标为(0,2).5.【解析】选A.由AB=2BC得AO+OB=2(BO+OC),所以2OC=-OA+3OB,即c=32b-12a.6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集.【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则只能共线.AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1(m+1)-2m=0,即m=1.若A,B,C三点能构成三角形,则m1.7.【解析】选B.(1)若a与b共线,即a=b,即2e1-e2=ke1+e2,而e1与e2不共线,k=2,=-1,解得k=-2.故正确,不正确.(2)若e1与e2共线,则e2=e1,有e1,e2,a,b为非零向量,2且-k,12-a=1k+b,即a=2-k+b,这时a与b共线,不存在实数k满足题意.故不正确,正确.综上,正确的结论为.8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于,x,y的关系式,消去,即可得解.【解析】选D.设C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3).由OC=OA+OB,得(x,y)=(3,)+(-,3)=(3-,+3).于是x=3-,y=+3,+=1.由得=1-代入,消去得x=4-1,y=3-2,再消去得x+2y=5,即x+2y-5=0.【一题多解】由平面向量共线定理,得当OC=OA+OB,+=1时,A,B,C三点共线.因此,点C的轨迹为直线AB, 由两点式求直线方程得y-13-1=x-3-1-3,即x+2y-5=0.9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出+与x,y的关系,运用线性规划求解.【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).AP=(x,y),AD=(0,1),AB=(3,0).AP=AD+AB,即(x,y)=(0,1)+(3,0)=(3,),x=3,y=,=y,=x3,+=x3+y.由线性规划知识知在点C(1,1)处x3+y取得最大值43.10.【思路点拨】根据向量的共线求出tan,再利用三角变换公式求值.【解析】选C.由ab得sin-cossin+cos=20xx,即tan-1tan+1=20xx,解得tan=-2 0152 013.tan2-1cos2=2tan1-tan2-cos2+sin2cos2-sin2=2tan1-tan2-1+tan21-tan2=-(1-tan)21-tan2=-1-tan1+tan.将tan=-2 0152 013代入上式得,tan2-1cos2=20xx.【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.11.【解析】由ba,可设b=a=(-2,3).设B(x,y),则AB=(x-1,y-2)=b.由-2=x-1,3=y-2,x=1-2,y=3+2.又B点在坐标轴上,则1-2=0或3+2=0,所以B(0,72)或(73,0).答案:(0,72)或(73,0)12.【解析】由题意知MN=MC+CN=12BC+14CA=12BC-14AC=12AD-14(AB+AD)=12AD-14AB-14AD=-14AB+14AD=-14a+14b.答案:-14a+14b13.【解析】由a=(1,2),a-12b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).由(2a+b)c得6x=-6,解得x=-1. 答案:-114.【解析】对于,当AB=DC时,则四边形ABCD为平行四边形,又|AB|=|AD|,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则AB=DC,且|AB|=|AD|,故正确;对于,若G为ABC的重心,则GA+GB+GC=0,故不正确;对于,由条件知CD=-53AB,所以CDAB且|CD|AB|,又|AD|=|BC|,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于,当AB,AC共线同向时,|BC|=3,当AB,AC共线反向时,|BC|=8+5=13,当AB,AC不共线时3|BC|13,故正确.综上正确命题为.答案:15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.(3)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-1613.【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使两向量AB,CD共线.(2)当两向量AB与CD共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?【解析】(1)AB=(x,1),CD=(4,x).ABCD,x2-4=0,即x=2.当x=2时,ABCD.(2)当x=-2时,BC=(6,-3),AB=(-2,1),ABBC.此时A,B,C三点共线,从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上. 但x=2时,A,B,C,D四点不共线.
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