新版高考数学复习 课时规范练35　空间几何体的表面积与体积

1 1课时规范练35空间几何体的表面积与体积一、选择题1.正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的表面积为()A.48(3+)B.48(3+2)C.24()D.144答案:A2.如图,一个简单组合体的正视图和侧视图相同,是由一个正方形与一个正三角形构成,俯视图中,圆的半径为.则该组合体的表面积为()A.15B.18C.21D.24答案:C解析:由三视图可知,该几何体是由圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体,所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和,所以该几何体的表面积为S=2+22+()2=21.3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为()A. m3B. m3C. m3D. m3答案:C解析:结合三视图可知,该几何体是由三个棱长为1 m的正方体和半个棱长为1 m的正方体组成的,所以该几何体的体积V=3111+111=(m3).4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.3答案:A解析:设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.来源:由S=(r+3r)3=84,解得r=7.5.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为()A.B.+C.+D.+答案:C解析:由三视图可知该几何体为一个半圆锥,即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得.S=2+21=+.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.75+2B.75+4C.48+4D.48+2答案:B解析:由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面面积之和为23=27,四个侧面的面积之和是(3+4+5+)4=48+4,故表面积是75+4.7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.a2B.a2C.a2D.5a2答案:B解析:如图,O1,O分别为上、下底面的中心, D为O1O的中点,则DB为球的半径,有r=DB=,S表=4r2=4a2.二、填空题8.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图,则四棱锥P-ABCD的体积为.答案:a3解析:易知该四棱锥中,PA底面ABCD,PA=a,底面是边长为a的正方形,故体积V=a2a=a3.9.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为.答案:解析:因为扇形弧长为2,所以圆锥母线长为3,高为2,所求体积V=122.10.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为.答案:解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,底面积为S,体积为V,则有2r=2r=,故底面面积S=r2=,故圆柱的体积V=Sh=2=.11.已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的全面积为.答案:26解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则几何体的全面积S=1+9+(1+3)=26.12.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体的外接球的体积是.答案: cm3解析:由题意可知,该几何体是一个有同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥,该三棱锥的底面是直角三角形,它的两条直角边的长度分别为4,3,三棱锥的高为5,以长4、宽3、高5补成一个长方体,可知外接球的大圆直径就等于该长方体的体对角线的长,从而有2R=5(cm),故球的体积为V=R3=(cm3).三、解答题13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥.(1)V=(86)4=64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD,PBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1=4,另两个侧面PAB,PCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2=5,因此S=2=40+24.14.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积. 解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件解得r=,l=4,S全面积=rl+r2=10,h=,V=r2h=2.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.来源:(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GNAC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.(1)解:由题中三视图可知该多面体为直三棱柱,ADDF,DF=AD=DC=a,该多面体的体积为a3,表面积为a22+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)证明:连接DB,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且ACDN.来源:GDAD,GDCD,ADCD=D,GD平面ABCD.AC平面ABCD,GDAC.又DNGD=D,AC平面GDN,GNAC.(3)解:点P与点A重合时,GP平面FMC.证明:取FC的中点H,连接GH,GA,MH.G是DF的中点,GH􀰿CD.又M是AB的中点,AM􀰿CD.GH􀰿AM,四边形GHMA是平行四边形.GAMH.MH平面FMC,GA平面FMC,GA平面FMC,即当点P与点A重合时,GP平面FMC.四、选做题1.过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面,这样的平面有4个,用这样的四个平面截去4个小棱锥后,剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比为()A.12B.32C.43D.13答案:A解析:如图所示,设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,则依题意截去四个小棱锥后,得到的四个截面的面积分别为S1,S2,S3,S4,原四面体各个面上剩余部分的面积为S1,S2,S3,S4,则剩下的几何体的表面积为2,其与原四面体的表面积之比为,故应选A.2.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.答案:13来源:3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:来源:(1)三棱锥P-ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成的角的余弦值.解:(1)SABC=22=2,三棱锥P-ABC的体积为V=SABCPA=22=.(2)取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cosADE=,因此,异面直线BC与AD所成的角的余弦值是.