新编高考数学理一轮资源库选修4 第1讲几何证明选讲

新编高考数学复习资料第十五章 系列4选考部分第1讲 几何证明选讲1如图，已知B在AC上，D在BE上，且ABBC21，EDDB21，求ADDF.解 如图，过D作DGAC交FC于G(还可过B作EC的平行线)，DGBC.BCAC，DGAC.，DFAF，从而ADAF，故ADDF72.2. 如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.圆O1与圆O2内切于点A，点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE90.BDCE，于是，ABAC为定值3. 如图，ABC是直角三角形，ACB90，CDAB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2FBFC.证明E是RtACD斜边AC的中点，DEEA，A2.又12，1A.FDCCDB1901，FBDACBA90A，FDCFBD.又F是公共角，FBDFDC，FD2FBFC.4. 如图，在ABC中，CM是 ACB的平分线，AMC的外接圆O交BC于点N.若ACAB，求证：BN2AM.证明连结MN.因为CM是ACB的平分线，所以ACMNCM，所以AMMN.因为BB，BMNA，所以BMNBCA，所以2，即BN2MN2AM.5. 如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过点C作O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2DEBC；(2)若BD9，AB6，BC9，求切线PC的长(1)证明ADBC，.ABCD，EDCBCD.又PC与O相切，ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC，即AB2DEBC.(2)解由(1)知，DE4，ADBC，PDEPBC，.又PBPD9，PD，PB.PC2PDPB.PC.6如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径解 (1)证明：连结DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.7. 如图，圆O是ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为ABC的垂心求证：DHDE.证明连结CE，CH.因为H为ABC的垂心，所以ECDBAD90ABC，HCD90ABC，所以ECDHCD.又因为CDHE，CD为公共边，所以HDCEDC，所以DHDE.8. 已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FBFC；(2)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120，BC3，求AD的长(1)证明AD平分EAC，EADDAC.四边形AFBC内接于圆，DACFBC.EADFABFCB，FBCFCB，FBFC.(2)解AB是圆的直径，ACD90.EAC120，DACEAC60，D30.在RtACB中，BC3，BAC60，AC3，又在RtACD中，D30，AC3，AD6.9. 如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆证明PA、PB为圆O的两条切线，OP垂直平分弦AB，AMBM.在RtOAP中，OMMPAM2，在圆O中，AMBMCMDM，OMMPCMDM，又弦CD不过圆心O，O、C、P、D四点共圆.10. 如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的长(1)证明连结ON.因为PN切O于N，所以ONP90.所以ONBBNP90.因为OBON，所以OBNONB.因为BOAC于O，所以OBNBMO90.所以BNPBMOPMN.所以PMPN.所以PM2PN2PAPC.(2)解OM2，BO2，BM4.因为BMMNCMMA(22)(22)8，所以MN2.11. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是O的切线；(3)若FBFE2，求O的半径(1)证明CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF.HEEC，BFFD.即点F是BD的中点(2)证明连接CB、OC，AB是直径，ACB90.F是BD的中点，CBFFCB.CBFBAC，BACACO，FCBACO.ACOOCB90，BCFOCB90.OCF90.CG是O的切线(3)解由FCFBFE，得FCEFEC.GGCH90，FAGFEC90，FAGG.FAFG，FBAG，ABBG.由切割线定理，得(2FG)2BGAG2BG2.在RtBGF中，由勾股定理，得BG2FG2BF2.由，得FG24FG120.解得FG6或FG2(舍去)ABBG4.O的半径为2.12如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值证明 连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2与AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE.所以BDCE，于是.ABAC为定值