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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1【20xx新课标全国】如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径.【解析】（1）利用弦切角定理进行求解；（2）利用（1）中的结论配合角度的计算可以得到答案.2.【20xx高考全国1】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（）证明：；（）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.3.【20xx全国】如图所示，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于，两点，与底边上的高交于点，且与，分别相切于，两点.(1)证明：；(2)若等于圆O的半径，且，求四边形的面积. 4.【20xx全国】如图所示，是直径，是切线，交于点E.（1）若D为中点，求证：是的切线；（2）若，求的大小.解析（1）连接，如图所示.因为为直径，所以.又为中点，所以，所以.因为为切线，所以，即.在圆中，所以.结合，可得，即.所以是圆的切线.【热点深度剖析】20xx年高考以圆为几何背景考查弦切角定理，三角形全等，直角三角形外接圆半径，考查学生的数形结合的能力. 20xx年高考涉及到圆的内接四边形的性质，垂径定理的推论20xx年涉及到面积、切线证明、切割线定理。从三年试题来看，高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，但连续几年没考查相交弦定理，预测20xx年高考可能以圆为几何背景，考查相似三角形的证明、相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.【重点知识整合】一、相似三角形1相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)(2)判定判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2三边对应成比例的两个三角形相似判定定理3两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边与一条直角边和另一个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似(3)性质性质定理1相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形对应角的平分线的比，外接圆直径的比、周长的比，内切圆直径的比、周长的比都等于相似比相似三角形外接圆面积的比，内切圆面积的比都等于相似比的平方2平行截割定理平行截割定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3直角三角形的射影定理：若RtABC斜边AB上的高为CD，则CD2ADBD，BC2BDAB，AC2ADAB.二、圆幂定理与圆锥截线1圆的切线(1)切线判定定理经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(2)切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必过切点经过切点垂直于切线的直线必经过圆心推论1从圆外一点所引圆的两条切线长相等推论2经过圆外一点和圆心的直线平分从这点向圆所引两条切线的夹角(3)内切圆、旁切圆与一个三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆；与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆2圆心角定理圆心角的度数等于它所对的弧的度数3圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半推论1直径(或半圆)所对的圆周角都是直角推论2同弧或等弧所对的圆周角相等推论3等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径4弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角5圆幂定理(1)相交弦定理圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等(2)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项(3)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等圆幂定理已知(O，r)，通过一定点P，作O的任一条割线交圆于A、B两点，则PAPB定值k.当点P在圆外时，kPO2r2，当点P在圆内时，kr2OP2，当点P在O上时，k0，通常把这里的定值k称作点P对O的幂6圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理对角互补外角等于它的内对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆推论如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆【应试技巧点拨】1辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法2比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则；.3同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补5.与圆有关的比例线段 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用【考场经验分享】1应用相似三角形的性质时，对应量必须找准(对应边，对应角，对应边上的高、中线，对应的角平分线等等)，牢牢把握对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角2判定两三角形相似时，可以用三边对应成比例，也可以用两角对应相等(只要两角对应相等，第三个角也对应相等)但两边对应成比例时，必须有夹角相等的条件3等弧对等弦、对等圆心角、对等圆周角、对等弦切角的前提是同圆或等圆4相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条【名题精选练兵篇】1.【20xx河北唐山二模】如图，四边形ABCD内接于圆O，AC与BD相交于点F，AE与圆O相切于点A，与CD的延长线相交于点E，ADEBDC（）证明：A、E、D、F四点共圆；（）证明：ABEFEBOFDCA2.【20xx广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】如图,四边形是圆O的内接四边形,延长和相交于点,（1）求的值；（2）若为圆O的直径,且,求的长【解析】（1）由,得与相似 设,则有, （2）由题意知,， , 3.【20xx吉林长春质量监测（二）】如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于、两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若.（1）求证：；(2) 求证：四边形是平行四边形.4.【20xx安徽“江南十校”联考】如图，过圆O外一点作圆O的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点.（）证明：；（）若,求的值.解：（）连接、，因为、为圆的切线，所以垂直平分又为圆的直径，所以，所以又为的中点，故为的中点，所以 （）设，则，在中，由射影定理可得：，在中，. = 5.【20xx河南新乡许昌平顶山二调】如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点 （）求证：PAPDPEPC； （）求证：ADAE6.【20xx甘肃兰州实战考试】 7.【20xx福建4月质检】如图，的两条中线AD和BE相交于点G，且D,C,E,G四点共圆.()求证：；()若GC=1，求AB.解法一：（）连结，因为四点共圆，则又因为为的两条中线，所以分别是的中点，故所以，从而（）因为为与的交点，故为的重心，延长交于，则为的中点，且在与中，因为，所以，所以，即来源:Z+xx+k.Com因为，所以，即，又，所以解法二：（）同解法一8【20xx届陕西省宝鸡市九校高三联合检测】已知圆内接ABC中，D为BC上一点，且ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线（）求BAE 的度数；（）求证: 【解析】证明:（）在EAB与ECA中，因为AE为圆O的切线，所以EBA =EAC，又E公用，所以EAB =ECA，因为ACD为等边三角形，所以 （）因为AE为圆O的切线,所以ABD=CAE ，因为ACD为等边三角形,所以ADC =ACD,所以ADB=ECA,所以ABDEAC ，所以,即 ，因为ACD为等边三角形,所以AD=AC=CD, ，所以.9. 【20xx届河北省唐山市高三第一次模拟】如图，圆周角的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.（）求证：；（）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求.10. 【20xx届甘肃省部分普通高中高三第一次联考】如图所示，为圆的切线，为切点，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证 （2）求的值.11. 如图所示，已知为圆的直径，是圆上的两个点，于，交于，交于，（1）求证：是劣弧的中点；（2）求证：【解析】（1） ，圆的直径，为劣弧的中点； （2），12如图，已知是的直径，是的切线，为切点，交于点，连接、，延长交于.（1）证明：；（2）证明：.【解析】（1）为的切线，为切点，为的直径，又，又， ， ；（2）由弦切角定理可知，四边形为圆的内接四边形， 又，. 13 如图，是的一条切线，切点为，直线，都是的割线，已知（1）求证：；（2）若，求的值14如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，连接AC，过点A作ADCD于点D，交O于点E（）证明：AOC=2ACD；（）证明：ABCD=ACCE15. 如图，为上的三个点，是的平分线，交于点，过作的切线交的延长线于点（1）证明：平分；（2）证明：【解析】 (1)因为是的切线，所以，又因为所以,即平分. (2)由可知，且，,所以,又因为,所以， ，所以， 所以 16. 如图,内接于, 是的直径, 是过点的直线, 且.ABCOEDP()求证: 是的切线;()如果弦交于点, , , , 求.【名师原创测试篇】1如图所示，是圆的切线，为切点，是圆的割线，的平分线与，分别交于点，且()求证：；()求的大小【解析】()证明：由题意可知，由弦切角定理得，则，则，由三角形角平分线定理得,，则.()，而，.又在中，可知.又，.2. 如图，是的外接圆，D是的中点，BD交AC于E（）求证：；（）若，O到AC的距离为1，求O的半径ACBOED3. 如图所示, 为圆的切线, 为切点,，的角平分线与和圆分别交于点和. （）求证； （）求的值.4. 如图，在ABC中，CM是ACB的平分线，AMC的外接圆O交BC于点N. 若AB=2AC，求证：BN=2AM.MCNBOA 【解析】连结MN，则由BMBA=BNBC得： ，又 ,所以， 于是. 因为CM是ACB的平分线，所以MN=AM，故BN=2AM. 5. 已知P是圆O外一点，PE切圆O于点E，A是圆O上一点，PA交圆O于B点，C为AE一点，PC交BE与D，CEDE（）求证：PC是的平分线（）【解析】（）于点，ECD=EDC，CPA=CPE，PC是APE的平分线（）， ， ，PE是圆O的切线，PBA是圆O的割线，=，=.6. 如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.（）求证：；（）求的值.
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