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1 1第十节变化率与导数、计算导数考纲传真(教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数(对应学生用书第32页)基础知识填充1导数与导数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)，切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(是实数)f(x)x1ytan xyycot xyf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)4.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为yxf(x)f(u)(x)知识拓展1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2.(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)若f(x)xex，则f(1)等于()A0BeC2eDe2Cf(x)exxex，f(1)2e.3有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()ABCDD由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.4(20xx全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_xy10y2x，y(1)1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.5曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，则a_.yax2ax1，y2axa，y(0)a.又曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，(a)(2)1，即a.(对应学生用书第33页)导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.规律方法1.求函数导数的一般原则如下(1)遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导.(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导.(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.跟踪训练(1)f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()Ae2B1Cln 2De(2)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(1)B(2)3(1)f(x)2 018ln xx2 019ln x，故由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.导数的几何意义角度1求切线方程(20xx全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.角度2求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_. 【导学号：79140071】(e，e)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度3求参数的值(范围)(1)(20xx西宁复习检测(一)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2C D(2)(20xx成都二诊)若曲线yln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A BC(0，)D0，)(1)A(2)D(1)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2，故选A(2)由题意得y2ax(x0)因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y0恒成立，即amax.因为x0，所以0，即a0，故选D规律方法求函数图像的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出.(2)切点既在函数的图像上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.(4)曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.(5)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.跟踪训练(1)(20xx威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10(2)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为() 【导学号：79140072】A1 B2 C1D2(3)(20xx天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图像在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_(1)B(2)B(3)1(1)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.(2)设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又由曲线方程知y，所以y(x0)1，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.(3)f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.
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