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课时提升作业(三十)一、选择题1.已知数列112,123,134,1n(n+1),下面各数中是此数列中的项的是()(A)135(B)142(C)148(D)1542.由a1=1,an+1=an3an+1,给出的数列an的第34项为()(A)34103(B)100(C)1100(D)11043.(20xx南昌模拟)已知数列an的前n项和Sn=2-2n+1,则a3=()(A)-1(B)-2(C)-4(D)-84.已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为()(A)150(B)161(C)160(D)1715.(20xx西安模拟)在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN+),则a3a5的值是()(A)1516(B)158(C)34(D)386.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),则an=()(A)2+lnn(B)2+(n-1)lnn(C)2+nlnn(D)1+n+lnn7.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak0,y0),已知数列an满足:an=F(n,2)F(2,n)(nN+),若对任意正整数n,都有anak(kN+)成立,则ak的值为()(A)89(B)2(C)3(D)4二、填空题9.数列-12,34,-78,1516,的一个通项公式可以是.10.数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1,nN+),则数列an的通项公式是.11.(20xx赣州模拟)已知数列an满足a1=12,an-1-an=anan-1n(n-1)(n2),则该数列的通项公式an=.12.(能力挑战题)已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=an2,当an为偶数时,3an+1,当an为奇数时.若a6=1,则m所有可能的值为.三、解答题13.已知数列an满足前n项和Sn=n2+1,数列bn满足bn=2an+1,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn.(1)求数列bn的通项公式.(2)判断数列cn的增减性.14.(能力挑战题)解答下列各题:(1)在数列an中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(nN+),其中实数c0.求an的通项公式.(2)数列an满足:a1=1,an+1=3an+2n+1(nN+),求an的通项公式.15.(20xx广东高考)设数列an前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN+.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.答案解析1.【解析】选B.42=67,故选B.2.【解析】选C.把递推式取倒数得1an+1=1an+3,所以1a34=1a1+3(34-1)=100,所以a34=1100.3.【解析】选D.a3=S3-S2=-14-(-6)=-8.4.【解析】选B.S10-S3=(2102-310+1)-(232-33+1)=161.5.【解析】选C.当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,a2=2.当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,a3=12.当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,a4=3.当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,a5=23,a3a5=34.6.【思路点拨】根据递推式采用“叠加”方法求解.【解析】选A.an+1=an+ln(1+1n)=an+lnn+1n=an+ln(n+1)-lnn,a2=a1+ln2,a3=a2+ln3-ln2,an=an-1+lnn-ln(n-1),将上面n-1个式子左右两边分别相加得an=a1+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+lnn-ln(n-1)=a1+lnn=2+lnn.7.【解析】选B.an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2,即an=-8,n=1,-10+2n,n2.n=1时也适合an=2n-10,an=2n-10.5ak8,52k-108,152k9.又kN+,k=8.8.【解析】选A.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)22nn2=2n2(n+1)2,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值为89.9.【解析】正负相间使用(-1)n,观察可知第n项的分母是2n,分子比分母的值少1,故an=(-1)n2n-12n.答案：an=(-1)n2n-12n10.【思路点拨】根据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系.【解析】方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1,故an是首项为1,公比为3的等比数列,an=3n-1.方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1,所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,把这个关系化为Sn+1+12=3(Sn+12),即得数列Sn+12为首项是S1+12=32,公比是3的等比数列,故Sn+12=323n-1=123n,故Sn=123n-12.所以,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列an的通项公式是an=3n-1.答案：an=3n-1【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧在根据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an.11.【解析】由递推公式变形,得1an-1an-1=1n(n-1)=1n-1-1n,则1a2-1a1=1-12,1a3-1a2=12-13,1an-1an-1=1n-1-1n,各式相加得1an-1a1=1-1n,即1an=3n-1n,an=n3n-1.答案：n3n-112.【解析】根据递推式以及a1=m(m为正整数)可知数列an中的项都是正整数.a6=1,若a6=a52,则a5=2,若a6=3a5+1,则a5=0,故只能是a5=2.若a5=a42,则a4=4,若a5=3a4+1,则a4=13,故只能是a4=4.若a4=a32,则a3=8,若a4=3a3+1,则a3=1.(1)当a3=8时,若a3=a22,则a2=16,若a3=3a2+1,则a2=73,故只能是a2=16,若a2=a12,则a1=32,若a2=3a1+1,则a1=5.(2)当a3=1时,若a3=a22,则a2=2,若a3=3a2+1,则a2=0,故只能是a2=2.若a2=a12,则a1=4,若a2=3a1+1,则a1=13,故只能是a1=4.综上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32.答案：4或5或32【变式备选】已知数列an中,a1=12,an+1=1-1an(n2),则a16=.【解析】由题可知a2=1-1a1=-1,a3=1-1a2=2,a4=1-1a3=12,此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=12.答案：1213.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n2).bn=1n,n2,nN+,23,n=1.(2)cn=bn+1+bn+2+b2n+1=1n+1+1n+2+12n+1,cn+1-cn=12n+2+12n+3-1n+1=-n-1(2n+2)(2n+3)(n+1)0,cn是递减数列.14.【解析】(1)由原式得an+1cn+1=ancn+(2n+1).令bn=ancn,则b1=1c,bn+1=bn+(2n+1),因此对n2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n-1)+(2n-3)+3+1c=n2-1+1c,因此an=(n2-1)cn+cn-1,n2.又当n=1时上式成立.因此an=(n2-1)cn+cn-1,nN+.(2)两端同除以2n+1得,an+12n+1=32an2n+1,即an+12n+1+2=32(an2n+2),即数列an2n+2是首项为a121+2=52,公比为32的等比数列,故an2n+2=52(32)n-1,即an=53n-1-2n+1.15.【解析】(1)当n=1时,T1=2S1-1.因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1.(2)当n2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1,所以Sn+1=2Sn+2n+1,-得an+1=2an+2,所以an+1+2=2(an+2),即an+1+2an+2=2(n2),求得a1+2=3,a2+2=6,则a2+2a1+2=2.所以an+2是以3为首项,2为公比的等比数列,所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2,nN+.
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