新编高考数学复习 课时规范练20　解三角形的应用举例

课时规范练20解三角形的应用举例一、选择题1.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20,现高不变,将倾斜角改为10,则斜坡长为()A.1B.2sin 10C.2cos 10D.cos 20答案:C2.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为() A.30B.45C.60D.75答案:B3.在某次测量中,在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50,且到A的距离为2,C点的俯角为70,且到A的距离为3,则B,C间的距离为()A.B.C.D.答案:D解析:BAC=120,AB=2,AC=3,BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=4+9-223cos 120=19.BC=.4.在地上画了一个角BDA=60,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为点N,则N与D之间的距离为()A.14米B.15米C.16米D.17米答案:C解析:如图,设DN=x米,则142=102+x2-210xcos 60,x2-10x-96=0.(x-16)(x+6)=0.x=16或x=-6(舍去).N与D之间的距离为16米.来源:5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是()A.10米B.10米C.10米D.10米答案:D解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30,BC=10.在RtABC中,tan 60=,AB=BCtan 60=10.6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m来源:答案:A解析:设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.二、填空题7.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:如图所示,依题意有AB=154=60(km),MAB=30,AMB=45,在AMB中,由正弦定理得,解得BM=30(km).8.如图,在坡角为15的体育场看台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为米.答案:30解析:由题可知BAN=105,BNA=30,由正弦定理得,解得AN=20(米).在RtAMN中,MN=20sin 60=30(米).故旗杆的高度为30米.9.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos =.答案:-1解析:在ABC中,BC=50(),在BCD中,sinBDC=-1,由图知cos =sinADE=sinBDC=-1.10.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),顶点B在椭圆=1上,则=.答案:解析:由正弦定理知,其中a,b,c是ABC的三边长,由题易知b=10,a+c=12,所以.11.如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当与满足条件时,该船没有触礁危险.答案:mcos cos nsin(-)解析:由题可知,在ABM中,根据正弦定理得,解得BM=,要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90-)=n,所以当与的关系满足mcos cos nsin(-)时,该船没有触礁危险.三、解答题12.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,求B,C两点间的距离.解:如图所示,由已知条件可得CAB=30,ABC=105,即AB=40=20(海里).故BCA=45.又由正弦定理可得,因此,BC=10(海里).13.如图所示,某海域内一观测站A,如图所示,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50且与A相距80海里的位置B,经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50+,090且与A相距60海里的位置C.(1)求该船的行驶速度;(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶,求船在行驶过程中离观测站A的最近距离.解:(1)如图,AB=80海里,AC=60海里,BAC=,sin =.由于090,所以cos =.由余弦定理得BC=40(海里),所以船的行驶速度为40海里/时.来源:(2)在ABC中,由正弦定理得,所以sin B=,过A作BC的垂线,交BC的延长线于点D,则AD的长是船离观测站的最近距离.在RtABD中,AD=ABsin B=80=15(海里).故船在行驶过程中离观测站A的最近距离为15海里.来源:14.如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值?若存在,请求出MSN取最大值时cos 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)如图,作SCOB于C,依题意CSB=30,ASB=60.又SA=,故在RtSAB中,可求得AB=3(米),即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在RtSCO中,SC=3米,CSO=30,OC=SCtan 30=米,又BC=SA=米,故OB=2米,即立柱的高度OB为2米.(2)存在.cosMOS=-cosNOS,=-.于是得SM2+SN2=26,从而cos =.又MSN为锐角,故当视角MSN取最大值时,cos =.四、选做题1.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处营救,则sin 的值为() A.B.C.D.答案:D解析:连接BC.在ABC中,AC=10,AB=20,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ABACcos 120=700,BC=10,再由正弦定理,得,sinACB=.cosACB=.来源:sin =sin(ACB+30)=.2.如图,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进10米至D处,测得顶端A的仰角为4,则的值为.答案:15解析:由条件知ADC中,ACD=2,ADC=180-4,AC=BC=30,AD=CD=10,则由正弦定理得,cos 2=.2为锐角,2=30,=15.3.某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30,求塔高.解:依题意画出图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40米,此时DBF=45,从C到D沿途测塔的仰角,只有B到测试点的距离最短时,仰角才最大,这是因为tanAEB=,AB为定值,BE最小时,仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE,而要求BE,需先求BD(或BC).在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135.由正弦定理,得,BD=20.在RtBED中,BDE=180-135-30=15,BE=BDsin 15=20=10(-1)(米).在RtABE中,AEB=30,AB=BEtan 30=(3-)(米).所求的塔高为(3-)米.