新编高考数学复习 课时规范练21　平面向量的概念及其线性运算

课时规范练21平面向量的概念及其线性运算一、选择题1.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为() A.3e2-e1B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案:C解析:如图所示,a-b=e1-3e2. 2.如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则() A.=0B.=0C.=0D.=0答案:A解析:,=0.3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案:C解析:=-8a-2b=2(-4a-b)=2.,又不平行,四边形ABCD是梯形.4.非零向量不共线,且2=x+y,若=(R),则点Q(x,y)的轨迹方程是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0答案:A解析:由=,得=(),即=(1+)-.又2=x+y,消去得x+y=2.5.在ABC所在平面上有一点P,满足,则PAB与ABC的面积之比是()A.B.C.D.答案:A解析:,=2,A,P,C三点共线,且P为AC的三等分点,.来源:6.设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2=2=2,则向量()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案:A解析:由题意,得.又=2,所以=2().所以.同理,得.将以上三式相加,得=-.二、填空题7.若|=8,|=5,则|的取值范围为.答案:3,13解析:|=|,|-|+|.3|13.8.已知=a,=b,=,则=.答案:a+b解析:)=a+(b-a)=a+b.9.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)答案:(b-a)解析:如图所示,连接BD,设BD与AC交于点O.由=3可知N为OC的中点.又M是BC的中点,)=(b-a).10.若点O是ABC所在平面内的一点,且满足|=|-2|,则ABC的形状为.答案:直角三角形解析:-2,|=|,故A,B,C为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形.11.如图,在ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n的值为.答案:2解析:O是BC的中点,).又=m=n,.M,O,N三点共线,=1.则m+n=2.三、解答题12.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,求(用向量表示). 解:在CEF中,有,因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC的一个三等分点,所以.所以.来源:13.已知ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足+a+b,则动点P的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.来源:解:依题意,由+a+b,得=(a+b),即=().如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于O,则=,A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点.14.已知点O为ABC外接圆的圆心,且=0,求ABC的内角A.解:由=0得,由O为ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且CAO=60.故BAC=CAO=30.来源:15.在ABC中,E,F分别为AC,AB的中点,BE与CF相交于G点,设=a,=b,试用a,b表示.解:=+)=)=(1-)=(1-)a+b.又+m)=(1-m)a+(1-m)b,解得=m=,a+b.四、选做题1.如图,在ABC中,点D是BC边上靠近B的三等分点,则=()A.B.C.D.答案:C解析:由平面向量的三角形法则,可得.又因为点D是BC边上靠近B的三等分点,所以,)=.2.已知两个不共线的向量的夹角为,且|=3.若点M在直线OB上,且|的最小值为,则的值为.答案:解析:如图,作向量,则,其中点N在直线AC上变化,显然当ONAC时,即点N到达H时,|有最小值,且OAH=,从而sin =,故=或=(根据对称性可知钝角也可以).来源:3.如图,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x=y,求证:=3.证明:因为点G是ABC的重心,知=0,得-+()+()=0,有).又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),于是存在,使得=+(且+=1),有=x+y),得于是得=3.