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命题猜想三命题猜想三不等式与线性规划不等式与线性规划【考向解读考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题命题热点突破热点突破一一】不等式的解法】不等式的解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法(1)fxgx0(0(0)；(2)fxgx0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.3指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解例 1、 【20 xx 高考新课标 1 卷】若101abc，,则()（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】C【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论【变式探究】(1)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1， x2)， 且 x2x115， 则 a_.(2)已知 f(x)是 R 上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1lnx)|a).(2)若axby1， 则 mxny(mxny)1(mxny)axby manb2 abmn(字母均为正数).例 2、 【20 xx 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件20,2360,3290.xyxyxy则目标函数25zxy的最小值为（）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】 可行域为一个三角形 ABC 及其内部， 其中(0,2), (3,0),(1,3)ABC， 直线z25xy过点 B 时取最小值 6，选 B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【变式探究】(1)定义运算“ ”：x yx2y2xy(x，yR，xy0)，当 x0，y0 时，x y(2y) x 的最小值为_.(2)函数 yx1x3 x1的最大值为_.【答案】(1) 2(2)15【解析】(1)由题意，得 x y(2y) xx2y2xy2y2x22yxx22y22xy2 x22y22xy 2，当且仅当x 2y 时取等号.(2)令 t x10，则 xt21，所以 ytt213ttt2t4.当 t0，即 x1 时，y0；当 t0，即 x1 时，y1t4t1，因为 t4t2 44(当且仅当 t2 时取等号)，所以 y1t4t115，即 y 的最大值为15(当 t2，即 x5 时 y 取得最大值).【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.【命题命题热点突破热点突破三三】简单的线性规划问题】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例 3、 【20 xx 年高考北京理数】若x，y满足2030 xyxyx，则2xy的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当yxz 2经过点P时，取最大值，而)2 , 1 (P，所求最大值为 4，故选 C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得【变式探究】若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_.【答案】3【解析】画出可行域如图阴影所示，yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点 A 处时yx最大.由x1，xy40，得x1，y3.A(1,3).yx的最大值为 3.【高考真题解读】【高考真题解读】1. 【20 xx 高考新课标 1 卷】若101abc，,则()（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】C2. 【20 xx 高考天津理数】 设变量 x， y 满足约束条件20,2360,3290.xyxyxy则目标函数25zxy的最小值为（）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】 可行域为一个三角形 ABC 及其内部， 其中(0,2), (3,0),(1,3)ABC， 直线z25xy过点 B 时取最小值 6，选 B.3.【20 xx 高考山东理数】若变量 x，y 满足2,239,0,xyxyx +-锍 则22xy+的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】 不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22xy表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC,故选 C.4.【20 xx 高考浙江理数】在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线l 上的投影由区域200340 xxyxy中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB， 则AB= （）A22B4C32D6【答案】C【解析】如图PQR为线性区域，区域内的点在直线20 xy上的投影构成了线段 R Q，即AB，而 R QPQ，由3400 xyxy得( 1,1)Q，由20 xxy得(2, 2)R，22( 12)(12)3 2 ABQR故选 C5.【20 xx 年高考北京理数】若x，y满足2030 xyxyx，则2xy的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当yxz 2经过点P时，取最大值，而)2 , 1 (P，所求最大值为 4，故选 C.6.【20 xx 年高考四川理数】设 p：实数 x，y 满足22(1)(1)2xy，q：实数 x，y 满足1,1,1,yxyxy 则 p 是 q 的()（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示） ，可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC在命题p中不等式表示的圆盘内，故选 A.7.【20 xx 高考新课标 3 理数】若, x y满足约束条件1020220 xyxyxy 则zxy的最大值为_.【答案】328. 【20 xx 高考新课标 1 卷】 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900元该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品B 的利润之和的最大值为元【答案】216000【解析】设生产产品A、产品B分别为x、y件,利润之和为z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy目标函数2100900zxy.二元一次不等式组等价于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 3作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900zxy变形,得73900zyx ,平行直线73yx ,当直线73900zyx 经过点M时,z取得最大值.解方程组10390053600 xyxy,得M的坐标(60,100).所以当60 x ,100y 时,max2100 60900 100216000z.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.9.【20 xx 高考江苏卷】 已知实数, x y满足240220330 xyxyxy，则22xy的取值范围是.【答案】4 ,135【解析】由图知原点到直线220 xy距离平方为22xy最小值，为224()55，原点到点(2,3)距离平方为22xy最大值，为13，因此22xy取值范围为4 ,1351.(20 xx重庆卷)“x1”是“log12(x2)0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由 x1x23log12(x2)0，log12(x2)0 x21x1，故“x1”是“log12(x2)0”成立的充分不必要条件.因此选 B.答案B2.(20 xx北京卷)若 x，y 满足xy0，xy1，x0，则 zx2y 的最大值为()A.0B.1C.32D.2解析可行域如图所示.目标函数化为 y12x12z，当直线 y12x12z 过点 A(0，1)时，z 取得最大值 2.答案D3.(20 xx陕西卷)设 f(x)ln x，0ab，若 pf ( ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrpB.qrpC.prqD.prq解析0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上为增函数，故 fab2f( ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)12ln a12ln bln(ab)12f( ab)p.故 prq.选 C.答案C4.(20 xx全国卷)若 x，y 满足约束条件x10，xy0，xy40，则yx的最大值为_.解析约束条件的可行域如图，由yxy0 x0，则最大值为 3.答案35.(20 xx四川卷)如果函数 f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为()A.16B.18C.25D.812解析令 f(x)(m2)xn80，xn8m2，当 m2 时，对称轴 x0n8m2，由题意，n8m22，2mn12， 2mn2mn26，mn18，由 2mn12 且 2mn 知 m3，n6，当 m2 时，抛物线开口向下，由题意n8m212，即 2nm18， 2mn2nm29，mn812，由 2nm18 且 2nm，得 m9(舍去)，mn 最大值为 18，选 B.答案B6.(20 xx山东卷)已知x， y满足约束条件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值为4， 则a()A.3B.2C.2D.3答案B7.(20 xx天津卷)设 xR，则“|x2|1”是“x2x20”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x2|1 得 1x3，由 x2x20，得 x2 或 x1，而 1x3x2 或 x1，而 x2 或 x11x3，所以，“|x2|1”是“x2x20”的充分而不必要条件，选 A.答案A8.(20 xx广东卷)若变量 x，y 满足约束条件4x5y8，1x3，0y2，则 z3x2y 的最小值为()A.315B.6C.235D.4解析不等式组所表示的可行域如下图所示，由 z3x2y 得 y32xz2，依题意当目标函数直线 l：y32xz2经过 A1，45 时，z取得最小值，即 zmin31245235，故选 C.答案C9.(20 xx浙江卷)已知函数 f(x)x2x3，x1，lg（x21） ，x1，则 f(f(3)_， f(x)的最小值是_.
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