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精选优质文档-倾情为你奉上高中数学竞赛专题试题讲座数列一、选择题部分1(2006年江苏)已知数列的通项公式,则的最大项是( B ) 2(2006安徽初赛)正数列满足,则 ( )A、98 B、99 C、100 D、1013. (2006吉林预赛)对于一个有n项的数列P=(p1,p2,pn),P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、sn、的算术平均值,其中sk=p1+p2+pk(1kn),若数列(p1,p2,p2006)的“蔡查罗和”为2007,那么数列(1,p1,p2,p2006)的“蔡查罗和”为 ( A )A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 10044(集训试题)已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是 ( ) A5B6C7D8解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则an-1是以8为首项,公比为-的等比数列, Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6(-)n,|Sn-n-6|=6()n250,满足条件的最小整数n=7,故选C。5(集训试题)给定数列xn,x1=1,且xn+1=,则= ( ) A1 B-1C2+D-2+解:xn+1=,令xn=tann,xn+1=tan(n+), xn+6=xn, x1=1,x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1,有。故选A。6、(2006陕西赛区预赛)已知数列的前n项和分别为,记则数列的前10项和为 ( C ) A . B. C. D. 7(2006年浙江省预赛)设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如。记,则 (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. ( D )解: 将记做,于是有从16开始,是周期为8的周期数列。故 正确答案为D。二、填空题部分1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=_.2(200 6天津)已知都是偶数,且,若成等差数列,成等比数列,则的值等于 194 3. (2006吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1,3,6,10,记这个数列前n项和为S(n),则=_。4(2006年江苏)等比数列的首项为,公比设表示这个数列的前项的积,则当 12 时,有最大值5. 在轴的正方向上,从左向右依次取点列 ,以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列,使()都是等边三角形,其中是坐标原点,则第2005个等边三角形的边长是 2005。【解】:设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为(, )。 再从第n个等边三角形上,我们可得的纵坐标为 。从而有,即有 。由此可得 (1) , 以及 (2)(1)(2)即得 .变形可得 .由于,所以 。在(1)式中取n 1,可得 ,而,故。因此第2005个等边三角形的边长为 。6.(2005年浙江)已知数列,满足, 且, 则= 。【解】:由 ,推出 。因此有 .即有 。 从而可得 。7. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是()A B C D解:用表示k位p进制数,将集合M中的每个数乘以,得中的最大数为。在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以,便得M中的数故选C。8(2004 全国)已知数列满足关系式,则的值是_。解:设即 故数列是公比为2的等比数列,。9(2005四川)设为整数,集合中的数由小到大组成数列:,则131 。解:为整数且,最小取2,此时符合条件的数有,可在中取,符合条件有的数有同理,时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有因此,是中的最小值,即三、解答题部分1(200 6天津)已知数列满足,其中是给定的实数,是正整数,试求的值,使得的值最小【解】令,由题设,有,且5分 于是,即()10分又,则当的值最小时,应有,且即, 15分由()式,得 由于,且,解得,当时,的值最小 20分2(2006陕西赛区预赛)(20分)已知,设,记。 (1)求 的表达式; (2)定义正数数列。试求数列的通项公式。.3(2006安徽初赛)已知数列满足,对于所有,有,求的通项公式4. (2006吉林预赛)设an为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 ( 22004+1)5(2006年南昌市)将等差数列:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列,求的值.解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+)(0,60(60,120(120,180,注意第一个区间段中含有的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于的项8个,为:,于是每个区间段中恰有15个的项,8个的项,且有,kN,1r8.由于20068250+6,而,所以.6(2004湖南)设数列满足条件:,且)求证:对于任何正整数n,都有 证明:令 ,则有 ,且 , 于是 由算术-几何平均值不等式,可得+注意到 ,可知 ,即 7(2006年上海) 数列定义如下:,且当时, 已知,求正整数n解 由题设易知,又由,可得,当n为偶数时,;当是奇数时, (4分)由,所以n为偶数,于是,所以,是奇数于是依次可得:, 是偶数,是奇数,是偶数,是奇数,是偶数,是偶数,是奇数, (9分),是偶数,是奇数,是偶数, ,所以,解得,n238 (14分)13. (2005全国)数列满足:证明:(1)对任意为正整数;(2)对任意为完全平方数。证明:(1)由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知,对任意为正整数.10分(2)将两边配方,得由0(mod3)为正整数式成立.是完全平方数.20分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 专心-专注-专业
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