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二次根式的化简求值练习题温故而知新：分母有理化分母有理化是二次根式化简的一种常用方法，通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分 母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.例 1 计算：（1）（2：3 3 2x6）（2,3 3 2、6）；（2）（3- 2 2/3）2（3、2 2 3）2；（3）a4a b/aa Tab解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分答案：解：（1）原式=（2 36 3 2）（2 36 3 2）=（2 36）2（3 2）2= 12-2 2 36+6-18=12 2.（2）原式=（3 22 3 3 22 3）（3 2 2 3 3 22 3）=6 2 （ 4 3）=24 6.小结：（1） 二次根式的混合运算常常用到幕的运算法则和乘法公式，有时题目中条件不明显, 要善于变形，使之符合乘法公式，幕的运算法则特点，从而简化计算.（2）二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便 .举一反三:1.若x= m- n,y = m + n，贝 U x y 的值是(A.2 mC. m + nB.D.解析：x y=( m -n)( m+ n)=( m)2-( n )2=m-n.例 2 阅读材料：“黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述，其意 是指两个人合在一起，取长补短，威力无比在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如:(2 + .3 )(2-3) = 1,(；5+2)(、5-2) = 3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解：如1 _ 13 _ .3 2+、3_(2 +、3)23.3Z33 2- .3(2-3)(2 + .3)=7+4 . 3，像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.(1)4 + 77 的有理化因式是_解析：因为(4+7)(4-7) =42-(7)2=9，所以 4+7的有理化因式是 4-7.答案：4-7;计算：一+血 7 -2W3解析:1 _=2-卫 3_2+ 3(2+ 3)(2 - 3)=2- 3 ,答案：解：原式=2-3+3 3-2 3=2.11计算:琪 2+i+；?3p+而卡+L+磁 012 可 2011(何+1).n +1 - n解析：=n + 1 - n，将各个分式分别分母有理化n +1 + n ( n +1 + n)( n +1 - n)后再进行计算答案：解：原式=(2- 1+ 3-2+ 4 -3+L + 2012 -2011) (2012+1)=(2012 - 1) (2012 +1) = (2012)2- 12=2012-仁 2011.已知 a=密+茫,b=闿-茫,求 Ja2- 3ab + b2的值. 胎-屁7323+ 2 _( 3+ 2)2解析：a=+；=_ =5 + 2 妮，同理 b=好茫=5- 2/6 ；V3- x/2 &3r2)W3 + 72)V3+J2a + b=5 + 2 6+5- 2 6= 10，a b= (5 + 2 6) (5 - 2 6) =1,然后将所要求值的式子用 a +b 和 ab 表示，再整体代入求值即可.答案：解：因为a=h+2代，b=5-2后，所以 a + b=5 + 2 6+5 - 2 6= 10， a b= (5 + 2 6) (5 - 2 6) = 1.所以 a2- 3ab + b2= (a+b)2- 5ab= 102- 5?1=95.小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到利用平方差公式进行分母有理化是常用方法如：C a b)(.a -b)=a- b,( a+ . b )( a- b ) =a2-b, ( a +b)( . a - b) =a-b2.11举一反三:2.如图,数轴上与 1,2对应的点分别为 A, B,点 B 关于点 A 的对称点为 C,设点 C 表示的数为 x,则 |x-+1 2=(x10+ 710 + 710-7( 10-7)( 10+ 7)3A.2B.()C.3 2D. 2解析：因为点 B 和点 C 关于点 A 对称，点 A 和点 B 所表示的数分别为 1，2，所以点 C 表示的数为2-2，即 x=2-2, 故 |x-2| +2=|2-2-2| +x一2=22-2+2+ 2=32.2- 2比较大小:.11-.3与10-2 ； (2)2.2-.5与.10- 一7.解析:(1)用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.答案:解:(1) (11-3)2=11-2X11X3+3=14-233,2=1O2X10X2+4=14-240.v3340, 33-240,A14-23314-240,(11-3)2 (10-2)2.又v11-30,10-2 0,A11-310-2.(2)= J二二=22+7522 -V5 (22-(5)(2 丁 2 +75)3(10-2)2 2+5.22+5_8+ 510+7= 33311-=- 10-7.小结：比较两个二次根式大小的方法很多，最常用的是平方法和取倒数法，还可以将根号外因 子移到根号内比较，但这时要注意:（1）负号不能移到根号内；（2）根号外正因子要平方后才能 从根号外移到根号内.2 23.已知a20142013，b 20152014，c20162015，则下列结论中正确的是（ ）A. abcC. bacB.cbaD. bca解析：1a12014201320142013，1201520142015 x2014，- c12016201520162015；（2013 襄阳） 先化简， 再求值:a2b22ab b2a，其中a 12，b 1门.2ab b a =(a b)(a b) aaa(a b)2a b=a b. a12,b 12，二 a+b=2, a-b=2 2,2原式=一=2J2例 5 已知实数 x, y 满足(x-、x2-2012)(y- . y2- 2012) =2012,则 3x2-2y2+3x-3y-2011 的值为()A.-2012B.2012C.-1D.1解析：观察所给等式特点可将等式变形为x- x2- 2012 = 20，将等式右边分母有y-Qy2- 2012理化得 x- x2- 2012= y+ y2- 2012 ；同理可得 y- y2- 2012 = x+ x2- 2012 ； + 得 x2- 2012+ y2- 2012 = 0 ,所以x2= y2=2012；-得x- y = 0，所以 x = y ；3x2- 2Y2+ 3x- 3y- 2011=3x2- 2x2+ 3x- 3x- 2011=x2- 2011= 2012-2011= 1.答案：D小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于对所给等式进行变形，然后对变形所得到的两个 等式进行简单的加减运算便可得到我们所需要的条件本题也可以根据变形得到的两个等式的特点得出 x=y 的结论，然后代入原来的等式，进而求出 x，y 的值，最后带入求值.答案：解：原式=(a b)(a b)a举一反三：5.观察分析下列数据,寻找规律：0,3,6,3,23,15,3 2,那么第 10 个数据应是解析：0=0 3，3=1 3,6=2 3, 3=3 3, 23=12 = 4?3,15=5 3,3 2=18= 6? 3，3(n-1)，所以第 10 个数据是9? 3 3 3.6. (2013 孝感)先化简，再求值：111，其中 x=32, y=32.x y y x例 6 已知 m=1 +迈，n=1-2,且(7m2-14m+a)(3 n2-6n-7) =8，则 a 的值等于( )A.-5B.5C.-9D.9解析：由 m=1+2可得 m-仁2，两边平方得 m2-2m+1=2，所以 m2-2m=1;7mF-14 m+a= 7 (m2-2 m) +a= 7+a ；同理可得 n2-2n=1，3n2-6 n-7 = 3 ( n2-2 n) -7 = 3-7 =-4;所以(7+a)x(-4) =8,解得 a=-9.答案：C小结：观察所给等式和 m，n 的值，我们可以发现，对 m，n 稍作变形便可整体代入.整体思 想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方法.当然我们也可以直接把 m, n 的值直接代入，然后解方程求出 a 的值，这样计算量要大很多.举一反三:4.设 a=7-1,则 3a3+12a2-6a-12=()A. 24 B. 25 C.4 7+10D.4 7 +12解析：由 a=7-1 得 a+1=7,两边平方得 a2+2a+1 = 7,所以 a2+2a=6 ,所以3a3+ 12a2- 6a-12= 3a(a2+2a)+6a2- 6a-12=3aX6+6a2- 6a-12= 6a2+ 12a-12=6(a2+2a)-12=6X6-12=24.1 1 10bc.a b c
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