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第七章刚体力学习题解答7.1.2汽车发动机的转速在 12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.假设转动是匀加速转动，求角 加速度。在此时间内，发动机转了多少转？解： 二 (3000 甯)2 /615.7rad/s22 02(30002 12002)(2 /60)22215T-26.39 102rad对应的转数=亍雪39 10242022 3. 147.1.3某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为一 34 一at bt ct (: rad ,t: s)。求t时刻的角速度和角加速度。解： 胎 a 3bt2 4ct3器 6bt 12ct27.1.4半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向。 边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足。=1.2t+t2( Q ：rad,t:s)o t=0时，自t=0开始转45o时，转过90o时，A点的速度和加速度在 x和y轴上的投影。解： 胎 1.2 2t 去 2.0t=0 时，12 Vx 0 Vy R 1.2 0.1 0.12m/s2_22ax an vy /R 0.12 /0.10.144m/say a R 2.0 0.1 0.2m/ s。=兀/4 时，由。=1.2t+t2,求得 t=0.47s,.,. co =1.2+2t=2.14rad/svxR cos 452.14 0.1 .2 /20.15m/sVy Rsin45 2.14 0.1 .2/2 0.15m/s22、ax Rcos45 Rcos45 Rcos45 ()0.1 号(2.0 2.142)0.465m/s222、ay Rsin45 2Rsin45 Rsin45 (2)0.1 年(2.0 2.142)0.182m/s2。=兀/2 时，由。=1.2t+t2,求得 t=0.7895s,co =1.2+2t=2.78rad/sVxR 2.78 0.10.278m/s Vy 02axR 2.0 0.10.2m/s222ay2R2.782 0.10.77m/s27.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速率=10rad/s逆时针转动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加速度。解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中心 G的速度、加速度与 B点或D 点相同，而B、D两点作匀速圆周运动，因此vG vBAB 10 1.5 15m/s,方向指向右下方，与水平方向成45。；aG aB2 AB 102 1.5 150m/s2,方向指向右上方，与水平方向成45o7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装4到6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割机前进。压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，一方 面把切下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物 的速度与收割机前进方向相反。已知收割机前进速率为 1.2m/s,拨禾轮直径 1.5m,转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心C随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度vvcR 1.2c2 221.560T0.53m/s负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm,发动机转速 2000rev/min.桨尖相对于飞机的线速率等于多少？若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。解：桨尖相对飞机的速度：v r 毁言 1.5 314m/s桨尖相对地面的速度：v v v机地，飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的,_ 3250 103丫机地60 6069.4m/s所以，v 丫机地,3142 69.42321.6m/s显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h,车轮滚动半径为0.26m,发动机转速与驱动轮转速比为0.909,问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为 R=0.26m,发动机转速为 m,驱动轮转速为n2,汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，v 2 Rn2 2 Rn1/O.909,所以:0.909v2 R0.909 166 1032 3.14 0.269.24 104rev/h 1.54 103rev/min7.2.2在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。圆锥体为匀质；密度为h的函数：p =P 0（1-h/L ） , p 0 为正常数。解：建立图示坐标 o-x,据对称性分析，质心必在 x轴上在x坐标处取一厚为 dx的质元 dm= pnr2dx, / r/a=x/L , r=ax/Ldm= p a a2x2dx/L2圆锥体为匀质，即p为常数,2 L总质量：m dm a- x2dx 1 a2 L L，03质心：xc cxdma2x3dx/ L2dma2L /3L 3 .x3dx00(1h)0(1 哈)x总质量： m dm -0L3a- x3dx 1 0 a2L质心：xc cxdmdm5L7.2.3 长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方 向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和竖直向下的重力的作用,在水平方向不受外力作用，vcx=0,acx=0,即质心C无水平方向的移动，只能逆着y轴作加速直线运动,直到倒在桌面上。取杆的上端点的坐标为x,y,匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L 2（x 0,y 0）7.3.1 用积分法证明：质量为m常为l的匀质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于土 ml2；用积分法证明：质量为 m半径为R的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯量等于1mR2证明：取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm fdx ,它对y轴的转动惯量为：dIyx2dx ,整个细杆对y轴的转动惯量：1/2-1 -1xI m x2dx mx3 II/2m（ ） ml2-l/2 dx |/2I x dx 3I x | I/2 3I （ 88 ）12 m1/2I /2在坐标x处取细杆状质元，dm2同2X2dx W乐2X2dxRR它对X轴的转动惯量：dl 3dm（2, R2 x2）2 3dm（R2 x2） 架（R2 x2）3/2dxR整个圆盘对x轴的转动惯量：I 谷 （R2 x2）3/2dx3 RR为了能求出积分，作如下变换：x Rcos , dx Rsin d22、3/2222(R x ) (RR cos0代入上式：l黑2 r3 sin33 R据三角函数公式：sin241 cos2 21 /asin()4 (11(1 2 cos 23/22 . 2 x 3/23 . 3) (R sin ) R sin(Rsin d )竽2 sin4 d01 cos 221 cos 2,cos 222cos 2 cos 2 )岁)4(2 2cos22 cos4 )mR2B_2 mR2 B2 d0(2cos20sin 2 |od2 1 cos4 d40黜n4 I0) 1mR2I 里 4(3 2cos2 1cos4 )d7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m,r=0.08m,m i=4.9kg,mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。解：摆对o轴的转动惯量I等于杆对。轴的转动 惯量Il加上圆盘对。轴的转动惯量Ir,即I = Il+Ir.根据平行轴定理12l 212Il访mJml(2)1ml ,Ir2 mrr2 mr (l r)2I 3 ml2 1mrr2 mr (l r)23 4.9 0.922 1 24.5 0.082 24.5(0.92 0.08)2226kgm7.3.3 在质量为M,半径为R的匀质圆盘上挖出半径为 r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求解：大圆盘对过圆盘中心 o且与盘面垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量为剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。I ?MR2.由于对称放置，两个小圆盘对。轴的转动惯量相等，设为 I,圆盘质量的面密度6 =M/ n R2,I1 1( r2)r2 ( r2)(R)2M r42R21Mr2设挖去两个小圆盘后，剩余部分对I I 2I 2MR2 2Mr2。轴的转动惯量为I”2M(R2 r2 2r4/R2)7.3.5 一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2,转速为3 =41.9rad/s,两制动闸瓦对轮的压力都为392N,闸瓦与轮缘间的摩擦系数为科=0.4,轮半径为r=0.4m,问从开始制动到静止需多长时间?解：由转动定理：2 0.4 392 0.48015.68rad /s根据平行轴定理,制动过程可视为匀减速转动,/41.9/15.68 2.67s7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。 设杆长为L,求打击中心 与支点的距离。o-xyz,z轴垂直纸面向外。据题意，杆受力及运动情况如图所示。F解：建立图示坐标 由质心运动定理：N mg0, F mac由转动定理；F0A Io1mL23把代入中，可求得oA |L37.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg , m2=0.5kg ,滑轮半径为转动惯量是多少？0.05mo自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了 0.75m。滑轮解:T2T1m2gm1gT2 T1m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：m2gT2m2a (1);Timg ma(2)对滑轮应用转动定理：（T2 T1）R I Ia/R （3）质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式： y 2 at2 , _2_2_2a 2 y/t 2 0.75/5.00.06m/s由 、可求得T2 T1 (m2 m1)g (m2 m1)a ,代入 (3 )中，可求得2I (m2 mi)g/a (m2 m)R，代入数据： -_ 2 22I (0.04 9.8/0.06 0.96) 0.051.39 10 kgm7.3.8 斜面倾角为0 ,位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R,转动惯量为I,受到驱动力矩,通过绳所牵动斜面上质量为 m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为小求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力, 重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a= 3 R对重物应用牛二定律：f=T- N- mgsin 0 =ma, N=mgcos 0 ,代入前式，得 T-科 mgcos 0 - mgsin 0 =ma 对鼓轮应用转动定理：一 TR=I 3 =Ia/R 由联立，可求得重物上滑的加速度:2R R mg( cos sin )2I mR2mg7.3.9 利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r,为减小因不计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物m1，从距地面高度为h处由静止开始下落，落地时间为力，然后悬挂质量较大的重物m2,同样自高度h处下落，所需时间为t2,根据这些数据确定轮盘的转动惯量，近 似认为两种情况下摩擦力矩相等。解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如图示：Pf为摩擦力矩，T为绳中张力,a= 3 r对轮盘应用转动定理：TjfI 1, T2r f I 2,两式相减，得：(T2Tjr I( 21),I (T2 Tjr/( 21)对重物应用牛顿二定律:m1g T| m1a1 m1r 1 ,m2 g T2m2a2 m2r 2,两式相减，可得:T2 T1 (m2 m1)gr(m2 2 m1 1),代入中，可得:I (m2 mjgr (m2 2m 1)r2/( 22，22由运动学公式：h 1a1tl*a2t2 , a1 2h/t1 ,2h彳22hiT7,将角加速度代入中，得:(m2 m1)gr (m?E 毛)r22h 2h 2222、(m2 m1)gr2hr (m2/t2mi /t1 )Z 222 22h(tit2 )/(ti t2 )2 2 2222(m2 m1)gr t1 t22hr (m2t1m|t2 )，222h(t1t2 )7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线 。转动，其转动惯量为I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r。在槽内装有一小球，质量为 m,开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度vo弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？。未受外力距作解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴 用，故物体系对转轴 。的角动量守恒，规定顺时方向为正，有Irmv0 0rmv0 / I在弹射过程中，物体系动能不守恒，因弹力做正功使动能增加；总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。7.4.2 质量为2.97kg,长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线。转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g,以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角。解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研究：第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞，获得共同的角速度3, 此过程时间极短,可认为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零，因此角动量守恒，mvl ml23 Ml 2 (m 3 M )l2mv(m M /3)l2.0rad /s0.01 200(0.01 2.97/3) 1.0第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度3摆动到最大角度。，由于在此过程中，只有重力做功，所以 物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量：1(m 3M )l2 2 mgl(1CQS 1(m M /3)l2(2m M)gCQS ) Mg a(1 CQS )_2(0.01 2.97/3) 1.0 2.021(2 0.01 2.97) 9.80.86350 =30。347.4.3 质量为m1,速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为 m2=99m1,长度为L的棒的端点, 速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上， 子弹击中棒后共同运动， 求棒和子弹绕垂直与平面的轴 的角速度等于多少？解：以地为参考系，把子弹和棒看作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心C的平动和绕质心C的转动，绕质心C转动的角速度即为所求。Am2,Lmi CO mi m2 CO CA 100 L I * 据质心7E 乂：, 十V1 C Om2 CAm2CA 99 2CA miCA 99L/200 0.495L, CO 0.5L 0.495L 0.005L据角动量守恒： m1v1CA (m1CA2 112 m2L2 m2CO2)2m1Vl 0.495L m1 (0.4950.495v1(0.4952 99/120.058v1/ L4 99 99 0.0052)L299 0.0052)L7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。解：设烟囱质量为 m,高为h,质心高度hC=h/2,对转轴的转动惯量I mh2 m(4j)2 3 mh2,倒在地面上时的角速度为w由机械能守恒：mghC ：I 2,mg 2 1 gmh2 2,. 3g/h上端点到达地面时的线速度：v h . 3gh 3 9.8 10 17.2m/s7.5.2用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点。是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当 AB边达到水平时，框架质心的线速度五及框架作用于支点的压力 N.解：先求出正方形框架对支点o的转动惯量：I 22Io Ic 4m(i)Ic mlIc 4(12ml2 m。 4ml2 I o f ml2 c1243o 3Ep=0_xElih设AB边达到水平位置时，框架的角速度为3,据机械能守恒定律:4mg% 41。*ml2) 2导，vc V VlgiAB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力 的力矩为零，据转动定理，框架的角加速度为零， 架应用质心运动定理：N和向下的重力 W的作用线均通过支点 o,对o轴 ac=2I/2=6g/7 ,方向向上。规定向上方向为正，对框N 4mg 4mac 4m%N 4mg(1 7) 77 mg据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N,方向向下。7.5.3 由长为1,质量为m的匀质细杆组成正方形框架，其中一角连于水平光滑转轴O,转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线 OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动，求OP对角线与水平成 450时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力。解：先求出框架对 O轴的转动惯量：据平行轴定理，I Ic 4mOC2 4(112ml2 m112) 4m( 121)2 130ml2设对角线OP转过45。后框架的角速度为co,且势能为零，由机械能守恒：4mg(sin45) 21 2, 2mgl 5 ml2 27.5.4 2,得，Vp2l 2,TgT设支点O对框架的作用力为 N,由定轴转动定理：T = I 3 ,4mgsin45 l / 2 3gl 3g 3 2- -,a -=g质心的法向加速度I 10ml2/3 5l2 5 2102-c 6g l 6ganOC5l 25 2在？方向应用质心运动定理：Nn 4mgcos454man,Nn2.2mg 4m (2.25 2mg 2242mg在？方向应用质心运动定理：N 4mgsin 45 4maN 4m b/R时，线轴向前滚；cos。v b/R时，线轴向后滚动。解：可将(1)看作(2)的特殊情况。建立图示坐标， z轴垂直纸 面 向外，为角量的正方向。根据静摩擦 力的性质，可知其方向与 F水 平分量方向相反。设线轴质心的加速度为a,绕质心的角加速度为3。由质心定理：F cos f ma (1) N mg F sin (2)由转动定理：Fb fR 1mR2(3)3只滚不滑：a+ 3 R=0 (4)由，联立，可求得：a 森(cos给，43FR(R cos ),f 亲(3b Rcos )F为水平拉力时，即 cos 1, f 焉(3b R) mg4 RF Emg. 若cos2 a 0 ,0 ,即线轴向前滚；若cos卷,a 0 ,0 ,即线轴向后滚。7.5.9 质量为m,半径为r的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面 内，半径为Ro最初，小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正 力r丁解：设小球运动到最低点时，其质心速度为V,绕质心转动的角速度为3,由机械X. J能守恒，有 mg( R r) 2mv22(2 mr2) 2只滚不滑条件：3=v/r,代入上式，可求得 v 用 Er)gN mg v2/(R r) m(g 4 g)在最低点应用质心运动定理：N mg mv2/(R r)23mg ,作用于导轨的正压力与此等大，方向向下。7.6.1汽车在水平路面上匀速行驶，后面牵引旅行拖车，假设拖车仅对汽车施以水平向后的拉力F.汽车重W,其重心与后轴垂直距离为a,前后轴距离为l, h表示力F与地面的距离。问汽车前后论所受地面支持力与无拖车时有无区别？试计算之。解：隔离汽车，受力 情况如图所示(摩擦力没 有画出，因与此题无关)。在竖直方向应用力平衡方程：N1 N2 W (1)F以前轮为支点，由力矩平衡方程，N2l W(l a) Fh (2)由（2）解得：N2 W（1 a/l） Fh/l将 N2代入（1）中得：Ni Wa/l Fh/l令F=0,即得到无拖车时前后轮的支持力Ni,和N2。显然，有拖车时，前轮支持力减小，后轮支持力7.6.3电梯高2.2m,其质心在中央，悬线亦在中央。另有负载 50X10kg,其重心 离电梯中垂线相距 0.5m。问当电梯匀速上升时， 光滑导轨对电梯的作用力， 不计摩 擦（电梯仅在四角处受导轨作用力） ；当电梯以加速度 0.05m/S2上升时，力如何？解：以。为轴，据力矩平衡条件：Nl mgb3N mgb/l 50 10 9.8 0.5/2.2 1.114 10 N设电梯的加速度为 a,以电梯为参考系，负载除受重力外，还受惯性力作用f*=ma，方向向下，据力矩平衡条件：Nl m（ g a）bN m(g a)b/l_ 3 _50 10(9.8 0.05)0.5/2.2 1.119 10 N7.7.1环形框架质量为0.20kg,上面装有质量为1.20kg的回转仪，框架下端置于光滑的球形槽内，回转仪既自传又旋进，框架仅随回转仪的转动而绕铅直轴转动，回转仪自身重心以及它连同框架的重心均在C点，C点与转动轴线的垂直距离为r=0.02m,回转仪绕自转轴的转动惯量为4.8 X10-4kgm2,自转角速度为120rad/s.求旋进角速度；求支架球形槽对支架的总支承 力。解：根据旋进与自旋的关系式：(m m2)grI(0.2 1.2) 9.8 0.02Z 4 Z4.8 101204.76rad / s把回转仪与支架当作一个系统, 圆周运动，由质心运动定理：设球形槽对支架的支承力为N ,整个装置的质心C相对竖直轴做匀速2一 -一2Nx (g m2)r(0.2 1.2) 0.02 4.760.63NNz(m1 m2)g (0.2 1.2) 9.8 13.72 NN Nx2 Nz2. 0.632 13.72213.73Nxz与竖直轴夹角arctg - arctg 0.632.63Nz 13.73
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