三角函数和向量

席考G题突破1高考中的三角函数与平面向量问题1.已知锐角a,且5a的终边上有一点Rsin(-50),cos130)，则a的值为()A.8B.44C.26D.40答案B解析sin(-50)0,cos130=-cos500,点Rsin(-50),cos130)在第三象限.又。Va90,0V5a0,0v6v兀)为偶函数，其图像与直线y=2某两个交点的横坐标分别为Xl,X2,若|X2Xl|的最小值为兀，则该函数的一个递增区间可以是()答案A兀兀解析由函数为偶函数知6=5+kTt(kCZ).又因为00).兀万，求函数y=f(x)(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图像与直线y=-1的两个相邻交点间的距离均为的单调增区间.3.,1,.3.1斛(1)f(x)=2-Sincox+2coscox+-sinwxcoscox(coscox+1)、/|.1.冗=2(2sincox2coscox)1=2sin(cox6)1.得一3w2sin(3x6)一11,所以函数f(x)的值域为3,1.(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y=f(x)的周期为兀，-一2所以二=兀，即3=2.3TT所以f(x)=2sin(2x-)-1,一,.兀兀.兀.再由2k%2x-6-&2k%+(kZ),人一，Lt兀兀一_斛得k兀一2bc,即bcw2+，3,当且仅当b=c时等号成立.因止匕-bcsinA户24所以ABCM积的最大值为引厂.4思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.已知函数f(x)=2cos2xsin2x一工默.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；3(2)在ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=2,b+c=2,求实数a的最小值.解(1)f(x)=2cos2x-sin2x-=(1+cos2x)sin2xcos6cos 2 xsin =1+-2-sin2x+2cos2x=1+sin2x+k.6函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，兀则sin2x+-6=1,兀兀A.I兀-2x+=2k7t+(kZ),解得x=k%+,kCZ.故f(x)取最大值时x的取值集合为,.兀，一xx=k兀+,kez兀3(2)由题意知，f(A)=sin2A+1=2,兀1化间得sin2A+=-.62兀 兀 13 71AC(0,%),.-.2A+,在AB8,根据余弦定理，得a2=b2+c22bccos=(b+c)23bc.,“b+c2由b+c=2,知bc1.，当b=c=1时，实数a的最小值为1.题型三三角函数和平面向量例3已知向量a=(mcos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=ab,且y=f(x)的图像过点(今，峋和点(早，-2).求簿n的值;(2)将y=f(x)的图像向左平移6(06兀)个单位后得到函数y=g(x)的图像，若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解(1)由题意知f(x)=ab=msin2x+ncos2x.因为y=f(x)的图像过点(12,小)和(T，一2),二.一.兀，.兀，3=msin+ncos石,4兀2= msin -3-+ ncos2一乎A 2n，解得f 4n= 1.所以(2)由(1)知f(x)=/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-6-).,r_一,.兀由题意知g(x)=f(x+6)=2sin(2x+26+不).设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x0+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).，.，、，1兀将其代入y=g(x)得sin(2()+)=1,.兀因为06兀，所以()=,一兀因此g(x)=2sin(2x+)=2cos2x.由2kTtTtW2x2kTt,kCZ,口兀得kit万xwkn,kCZ,、.兀所以函数y=g(x)的单倜递增区间为kn万，ku,kCZ.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),其中0ax7t.一兀.一右a=,求函数f(x)=bc的取小值及相应x的值；一，兀，(2)右a与b的夹角为,且ac,求tan2a的值.解(1).b=(cosx,sinx),，.，c.，c、兀c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),a=,.f(x)=b-c=cosxsinx+2cosxsina+sinxcosx+2sinxcosa=2sinxcosx+2(sinx+cosx).兀令t=sinx+cosxx兀,贝U2sinxcosx=t21,且一1t也.3,ymin= 2,此时2sin x+ cos x = ，则函数f(x)关于t的关系式为y=t2+42t1=t+202-,1t。2,t=即而inx+亍=年，兀兀兀5兀7t7兀11 Tt3函数f(x)的最小值为一2,r-117t相应x的值为者. TT(2) . a与b的夹角为手,cos兀 a b3=|a| - I b|=cos a cos x+ sins sin x= cos( x a ).兀3.1.1 a c, .cos a (sin x+2sina ) +sin a (cosx+ 2cos a ) = 0,sin (x+ a ) + 2sin 2a = 0, IP sin 2a兀+ 3+ 2sin 2 a = 0.|sin2a+*cos2(时间：70分钟)1 .已知函数f(x)=Asin(x+-4-),xCR,且f(2)=2.求A的值；(2)若f(0)+f(0)=2,ee(0,力求f(:0).解(1)-mM)=Asin(52+_4)=Asin232，a= 3.(2)由知f(x)=/3sin(x+4),故f(e)+f(e)j-7tj-7t3=3sin(9+彳)+4sin(9+)=2,21- 3j3 2 (sin 9+ cos23e)+2-(cos9sin8)=5,mcos 8=2,cossin0 = ,1 cos2 8 =-4,f(-4-9)=3sin(兀-8)=3sin9=42 .(2015江苏)在ABC43,已知AB=2,AC=3,A=60.求BC的长；(2)求sin2C的值.1解(1)由余弦定理知，BC=A+AC2ABAC-cosA=4+9-2X2X3X2=7,所以BC=7.,、一ABBC由正弦定理知，-=中，所以sinC=祟sinA=辿誉=华.BC.77因为AB0,xCR若函数f(x)=mn的最小正周期为(1)求3的值;(2)在ABC,若f(B)=2,BC=sinB=3sinA,求BA-BC勺值.解(1)f(x)=mn=2-3sincoxcoscox+cos2coxsin2cox=3sin2cox+cos2coxf(x)的最小正周期为兀，30,3=1.(2)设ABC角A,B,C所对的边分别是a,b,c.兀-1f(E)=2,2sin2B+=-2,兀即sin2B+=1,解得B=3-(BC(0,兀).BC=.3,sinB=.3sinA,即a=y3,b=a,-b=3.33由正弦定理，有,sinA所2兀31解得sinA=2.兀兀,0A万，于C=，c=a=镉.6BA,BC=cacosB=/3x/3xcos2=-彳.32兀4.函数f(x)=cos(兀x+6)0V6金的部分图像如图所示.(1)求6及图中xo的值；(2)设g(x)=f(x)+fx+1,求函数g(x)在区间一1,1上的最大值和最小值.323解（1）由题图得f（0）=2,所以cos巾=2,因为0V（）2-,故（）=-6.由于f（x）的最小正周期等于2,所以由题图可知1vxo2,7兀兀 13 Tt6- 兀 xo+57由 f ( Xo)=cos 兀7t兀Xo + 6,32,所以兀Xo+11 Tt5 xo=3.(2)因为 f x+ 13=cos1x x+ -3兀 十否兀=cos % x+ - = sin Ttx,所以 g(x) = f(x) + fx + ： = cos3兀兀tt x+ sin 兀 x= cos 兀 xcos sin 兀 xsin7tsin 兀 xs2x x 1sin2兀x sin 兀/cosx x-3sin % x2兀=3sin二一xx.6当xC5，5时,231兀所以一2sin6一兀xw1,兀兀1,t-故当至一兀x=2,即x=-3时，g(x)取得最大值J3；当一xx=,即x=；时，g(x)取得最小值一-.66325.(2015福建)已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到：先将、.TTg(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2彳t(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m衽0,2兀)内有两个不同的解”，3.求实数m的取值范围；22m证明：COS(a)=1.5方法一(1)解将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移2-个单位长度后得到y=2cosx十的图像，故f(x)=2sinx.从而函数f(x) = 2sin x图像的对称轴万程为兀x=k7t+(kZ).(2)解f(x)+g(x)=2sinx+cosx215 .忑sinx+正cosx,2兀)内有两个不同的解a , B ,当且仅当j5 v 1,故m=sin(x+6)其中sin巾=古，cos()依题意，sin(x+6)=在05的取值范围是(-乖,加).证明因为a,是方程45sin(x+(J)=m在0,2兀)内的两个不同的解,所以sin(.L.兀一当1wm5时，a+B=26，即“-3=兀-2(3+()；当一i5mx1时，a+=26，即a3=3兀-2(3+6).所以cos(oc)=cos2(+()=2sin2(+巾)一122m飞T方法二（1）同方法一.（2）同方法一.证明因为a,3是方程、/5sin（x+（J）=m在0,2兀）内的两个不同的解,所以sin（“+（）=：=,sin（+（）=；=.55j-7t当1Wm45时，a+=2万一6，即“+（）=兀一（+（）；当一/5Vml1时，a+=226,即“+()=3兀一(+();所以COS(a+()=COS(+(|).于是COS(a)=COS(a+()(+()=cos(a+6)cos(B+6)+sin(a+()sin(B+6)=cos2(+()+sin(a+6)sin(B+6)m2m22m一第+乐=L