普通测量学：第六章 测量误差的基本知识

测绘教研室测绘教研室 第六章第六章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识测绘教研室测绘教研室 6-1 6-1 误差的来源误差的来源6.1.1 误差的定义误差的定义6.1.2 误差的来源误差的来源测绘教研室测绘教研室 returndownup误差是指观测值与真值之差，即误差是指观测值与真值之差，即 。定义定义iiLX iLX X为为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值；，即能代表某个客观事物真正大小的数值； 为为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值；，即对某个客观事物观测得到的数值；i为观测误差，即为观测误差，即真误差。测绘教研室测绘教研室 returndownup（1）观测者观测者 （2）测量仪器测量仪器 （3）外界条件外界条件 上述观测者、仪器、外界条件三个方面是引起误差的主要原因，因此我们把这三个方面的因素综合起来称为观测条件观测条件。 等精度观测等精度观测： 观测条件相同的各次观测，其结果具有同等精度。 非等精度观测非等精度观测：观测条件不相同的各次观测，其结果具有不同精度。 测绘教研室测绘教研室 6-2 6-2 测量误差的分类测量误差的分类6.2.1 系统误差系统误差6.2.2 偶然误差偶然误差6.2.3 系统与偶然误差的比较系统与偶然误差的比较测绘教研室测绘教研室 downdownupup1 1、系统误差定义、系统误差定义 在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差的大小及在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么把这类误差符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么把这类误差称为称为系统误差系统误差。 2 2、系统误差特性、系统误差特性 （1 1）同一性同一性：误差的绝对值保持恒定或按一确定的规律变化。：误差的绝对值保持恒定或按一确定的规律变化。 （2 2）单向性单向性：符号不变，总朝一个方向偏离。：符号不变，总朝一个方向偏离。（3 3）累积性累积性：误差的绝对值随着单一观测值倍数累积。：误差的绝对值随着单一观测值倍数累积。 准确度准确度：观测值偏离真值的程度。：观测值偏离真值的程度。3 3、系统误差的处理方法、系统误差的处理方法 （1 1） 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 （2 2） 加改正数，在观测值中加入系统误差的改正数加改正数，在观测值中加入系统误差的改正数 。 （3 3） 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。弱。测绘教研室测绘教研室 returndownup1 1、偶然误差定义、偶然误差定义 在相同的观测条件下作一系列的观测，若误差的大小及在相同的观测条件下作一系列的观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个的误差来看，该列误差的大符号都表现出偶然性，即从单个的误差来看，该列误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为统计规律，这类误差称为偶然误差偶然误差。 2 2、偶然误差的特性、偶然误差的特性 例：对例：对9696个三角形内角进行独立观测，由于存在观测误个三角形内角进行独立观测，由于存在观测误差，三角形内角之和差，三角形内角之和L L不等于理论值不等于理论值180180，各三角形内角和，各三角形内角和真误差（观测值减去真值）为：真误差（观测值减去真值）为：i i=L=Li i-X-X（i=1i=1、2 2 n n），）， 即即i i=A=Ai i+B+Bi i+C +C i i-180 -180 , , 三角形闭和差分布规律为：三角形闭和差分布规律为：测绘教研室测绘教研室 附：附：n n 为误差总个数；为误差总个数；d d为为33，亦称组距；，亦称组距； （n ni i/n/n）/d/d 为下图中的每个矩形高。为下图中的每个矩形高。 误差区间误差区间d d 为正误差为正误差为负误差为负误差误差个数误差个数n ni i频率频率n ni i/n/n(n(ni i/n/n）/d/d误差个误差个数数n ni i频率频率n ni i/n/n(n(ni i/n)/d/n)/d 0 03319190.1980.1980.0660.06620200.2080.2080.0690.0693 36613130.1350.1350.0450.04512120.1250.1250.0420.0426 6998 80.0830.0830.0280.0289 90.0940.0940.0310.0319 912125 50.0520.0520.0170.0174 40.0420.0420.0140.014121215 15 2 20.0210.0210.0070.0072 20.0210.0210.0070.007151518 18 1 10.0100.0100.0030.0031 10.0100.0100.0030.0031818以上以上0 00 00 00 00 00 048480.4990.499 50500.500.50 测绘教研室测绘教研室 右图中的光滑曲线就是误右图中的光滑曲线就是误差的差的概率分布曲线概率分布曲线, ,或叫误差分或叫误差分布曲线布曲线 ，在数学中这种曲线称，在数学中这种曲线称为为正态分布图正态分布图，该曲线的方程式，该曲线的方程式为：为：22221)(ef式中式中 f( f( ) ) 称为称为分布密度分布密度， 为为标准差标准差，即测量中的，即测量中的中误差中误差。 误差的分布还可以用图形表示。误差的分布还可以用图形表示。以横坐标表示误差的大小，纵坐以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的频率标表示各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即（除以区间的间隔值，即（n ni i/n/n）/d/d。 22221)(ef f( ) 称为分布密度分布密度；为标准差，即测量中的中误差中误差。测绘教研室测绘教研室 returndownup2 2、偶然误差的的四个特性、偶然误差的的四个特性： （1 1）单峰性单峰性： 绝对值小的误差比绝对值大的出现的概率大；绝对值小的误差比绝对值大的出现的概率大； （2 2）对称性对称性： 绝对值相等的正、负误差出现的概率大致绝对值相等的正、负误差出现的概率大致 相相等；等； （3 3）有界性有界性： 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值限值 。 （4 4）补偿性补偿性：偶然误差的数学期望为零，也就是说偶然误差：偶然误差的数学期望为零，也就是说偶然误差的理论平均值为零。的理论平均值为零。测绘教研室测绘教研室 returndownup 偶然误差对观测值的精度偶然误差对观测值的精度 有较大的影响，有较大的影响， 为提高精度，为提高精度，削弱偶然误差的影响，可作如下的处理：削弱偶然误差的影响，可作如下的处理： （1 1）提高仪器的等级。）提高仪器的等级。 精度精度： 观测值的离散程度。观测值的离散程度。3 3、偶然误差的处理方法、偶然误差的处理方法 粗差粗差：测量中发生错误，如读错、记错等：测量中发生错误，如读错、记错等 。 （2 2）进行多余观测，求最可靠值。）进行多余观测，求最可靠值。 测绘教研室测绘教研室 returndownup系统误差大系统误差大 偶然误差大偶然误差大 靶子 1靶子 2减小系统误差减小系统误差减小偶然误差减小偶然误差准确准确度低度低精度精度低低靶子 3 准确度高准确度高 精度高精度高系统误差小、偶然误差小系统误差小、偶然误差小 测绘教研室测绘教研室 6-3 6-3 评定观测值精度的标准评定观测值精度的标准6.3.1 中误差中误差6.3.2 相对误差相对误差6.3.3 容许误差容许误差测绘教研室测绘教研室 returndownup1 1、定义、定义 在同一观测条件下，对同一量在同一观测条件下，对同一量X X进行了进行了n n次观测，观测值次观测，观测值为为l li i (i=1,2(i=1,2n),n),则其则其真误差真误差( (观测值减去真值观测值减去真值 ) )为：为：i i=L=Li i- -X X，中误差可以按下列公式来定义：，中误差可以按下列公式来定义： nnmnnn22112lim 在实际的工作中，在实际的工作中，n n为有限值，取近似值，中误差为有限值，取近似值，中误差m m可写可写为：为： nnmnn2211 中误差并不等于每个观测值的真误差，而是反映一组真中误差并不等于每个观测值的真误差，而是反映一组真误差误差离散程度离散程度的指标。的指标。测绘教研室测绘教研室 returndownup1nvvmV V表示：观测值改正数表示：观测值改正数n n 表示：观测的次数表示：观测的次数 一般情况下，观测值的真值是不知道的，那么我们可以一般情况下，观测值的真值是不知道的，那么我们可以利用观测值的利用观测值的改正数改正数来计算。来计算。 例：对同一个三角形用两种不同的仪器分别观测了十次，例：对同一个三角形用两种不同的仪器分别观测了十次，每次观测的内角和的真误差为：每次观测的内角和的真误差为： 第一组：第一组：+3+3、-3-3、+4+4、-2-2、0+30+3、-2-2、+1+1、-1-1、0 0 第二组：第二组：- 1- 1、 0 0 、+8+8、+2 +2 、 -3-7-3-7、 0 0、 +1+1、 -2-2、-1-1 求两组观测值的中误差，并比较其精度。求两组观测值的中误差，并比较其精度。测绘教研室测绘教研室 downup 解：解： 3. 1100112302433222222221 m7. 210121073280122222222222 m 由于由于m m1 1 m m2 2 , ,说明第一组观测值的离散程度小于第二组，说明第一组观测值的离散程度小于第二组，故前者的观测精度高于后者。故前者的观测精度高于后者。测绘教研室测绘教研室 downup 把误差的绝对值与观测值之比称为把误差的绝对值与观测值之比称为相对误差相对误差。 相对误差相对误差的分子应化为的分子应化为1 1，即用，即用 1 /N 1 /N 表示。表示。 相对误差：相对误差： 相相 对对 中中 误误 差差 相相 对对 真真 误误 差差 相对容许误差相对容许误差 相对中误差分别为：相对中误差分别为： K K1 1=0.02/100= 1/5000=0.02/100= 1/5000 例如，分别丈量例如，分别丈量100100米和米和200200米的两段距离，中误差均为米的两段距离，中误差均为2cm2cm，比较两者的观测成果质量？，比较两者的观测成果质量？K K2 2=0.02/200=1/10000=0.02/200=1/10000 相对误差不能评定角度测量的误差，因为角度误差与测相对误差不能评定角度测量的误差，因为角度误差与测角大小无关。角大小无关。测绘教研室测绘教研室 downup 通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为通常以三倍中误差作为偶然误差的极限值，称为极限误差极限误差 ，即即: : m m极极=3m =3m 实践中，也常用两倍的中误差作为实践中，也常用两倍的中误差作为容许误差容许误差，即，即 : : m m容容=2m =2m 区间区间 概率概率 （-， +） 68.3%68.3% （-2-2，+2+2） 95.5%95.5%、 （-3-3，+3+3） 99.7% 99.7% 测绘教研室测绘教研室 6-4 6-4 误差传播定律误差传播定律6.4.1 线性函数的中误差线性函数的中误差6.4.2 一般函数的中误差一般函数的中误差测绘教研室测绘教研室 三种特殊函数：三种特殊函数：（1 1） 倍数函数的中误差：倍数函数的中误差： Z=kxZ=kx m m=k=k m m 或或 m m=km=km （2 2） 和差函数的中误差：和差函数的中误差：Z= xZ= x+ x+ x + x+ x3, 3, + + x xn n m m = m= m + m+ m m m （3 3）算术平均值的中误差）算术平均值的中误差)1()(1222222222221nnvvnmMnmnmnmnmnmMlllnxnlxn 证明：证明：测绘教研室测绘教研室 downup Z=k Z=kx xk kx xk k x x n n (k (k,k ,k , , k k 为为 常数常数 x x ,x,x , , x x 为相互独立的可直接观测量为相互独立的可直接观测量 1 1，2 2, , n n 为其对应的真误差为其对应的真误差 m m1 1， m m2 2， m mn n 为其对应的中误差）为其对应的中误差）上式对应的真误差关系式为：上式对应的真误差关系式为： Z=kZ=k k k k k n n 现对这些独立观测量观测了现对这些独立观测量观测了n n次，则：次，则： Z=kZ=k11 11 1111 k k21212121 k kn1n1 n1n1 Z=kZ=k1212 1212 k k22222222 k kn2n2 n2n2 Z=kZ=k1313 1313 k k23232323 k kn3n3 n3n3 Z=kZ=k1n1n 1n1n k k2n2n2n2n k knnnn nnnn测绘教研室测绘教研室 （1 1）对上面）对上面n n 个式子两边分别平方再求和，得：个式子两边分别平方再求和，得： 2222221z122nn,1,2 k k k 2ni ji iijkki j （2 2）将上式的两）将上式的两边分别除以观测次边分别除以观测次数数n n，则：，则： 2222221z122nn,1,2 k k k 2nnnni ji jni iijkkn （3 3）根据偶然误差的）根据偶然误差的性质，上式的最后一性质，上式的最后一项随项随n n 的增加而趋向的增加而趋向于零，上式可写为：于零，上式可写为： 2222221z122nn k k k nnnn （4 4）根据中误差的定义，上式）根据中误差的定义，上式即为：即为： 22222221212nnzmkmkmkm测绘教研室测绘教研室 解：解： ( (首先判断是倍数函数，还是和差函数首先判断是倍数函数，还是和差函数) ) L=l L=l1 1 + l+ l2 2 + l+ l3 3 + l+ l4 4 m m=4m=4m=0.0004 =0.0004 米米 m m= =0.02 0.02 米米 【 例例 1 1】丈量布匹】丈量布匹4 4米，以尺长为米，以尺长为1 1米的尺子进行丈量四米的尺子进行丈量四次，设每次丈量的中误差为次，设每次丈量的中误差为0.010.01米，问丈量米，问丈量4 4米的中误差为多米的中误差为多少？少？【 例例 2 2】丈量布匹】丈量布匹4 4米，以尺长为米，以尺长为1 1米的尺子丈量一次后，米的尺子丈量一次后，再以再以1 1米布为基础折叠三次得到米布为基础折叠三次得到4 4米长的布匹，问量这米长的布匹，问量这4 4米长布米长布匹的中误差为多少？匹的中误差为多少？解：解： L=4 lL=4 l mL mL = 4 m = = 4 m =0.04 0.04 米米 测绘教研室测绘教研室 设一般函数为：设一般函数为： Z=f(xZ=f(x1 1, x, x2 2, , x xn n ) ) (x (x1 1, x, x2 2, , x xn n 为相互独立的可直接观测量；为相互独立的可直接观测量； 1 1 , ,2 2, , n n 为其对应的真误差；为其对应的真误差； m m1 1， m m2 2， m mn n 为其对应的中误差；）为其对应的中误差；）我们已经求出一般线性函数的中误差公式，可将上式线性化我们已经求出一般线性函数的中误差公式，可将上式线性化以后，在利用以后，在利用线性函数中误差线性函数中误差公式求出一般函数的中误差公式公式求出一般函数的中误差公式mxfmxfmxfmxfmxfmxfxnxxZxnxxZnmnm22222212222222122.21.21或测绘教研室测绘教研室 测绘教研室测绘教研室