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栏目索引第第2424讲圆的有关概念及性质讲圆的有关概念及性质栏目索引夯基础学易考点一考点一 圆的有关概念圆的有关概念(近五年未考查近五年未考查)夯基础学易1.平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆,定点叫做圆心,连接定点与动点的线段叫做半径.圆也可以看成是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.2.连接圆上任意两点的线段叫做弦;经过圆心的弦叫做直径;圆上任意两点间的部分叫做弧;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.3.能够重合的两个圆叫做等圆;在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.栏目索引夯基础学易1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;圆是中心对称图形,对称中心是圆心;特别地,圆绕圆心旋转任意角度都能和原来的图形重合,这就是圆的旋转不变性. 2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.考点二考点二 圆的对称性圆的对称性(5年年1考考)栏目索引夯基础学易1.(2018山东威海)如图,O的半径为5,AB为弦,点C为的中点,若ABC=30,则弦AB的长为( D ) A. B.5 C. D.5 AB125 323栏目索引夯基础学易2.(2018广东广州,7,3分)如图,AB是O的弦,OCAB,交O于点C,连接OA,OB,BC,若ABC=20,则AOB的度数是( D )A.40 B.50 C.70 D.80栏目索引夯基础学易2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 推论2:直径所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径.1.圆周角:顶点在圆上,角的两边分别和圆有交点的角叫做圆周角. 考点三考点三 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论(5年年4考考)栏目索引夯基础学易3.(2018山东菏泽)如图,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是( D )A.64 B.58 C.32 D.26栏目索引研真题优易例例1(2016山西,19,7分)请阅读下列材料,并完成相应的任务:阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes,公元前287公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Biruni(973年1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版阿基米德全集,第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BCAB,M是 的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.M是 的中点,MA=MC.ABCABC类型一类型一 圆的对称性圆的对称性研真题优易栏目索引研真题优易任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;(2)填空:如图3,已知等边ABC内接于O,AB=2,D为上一点,ABD=45,AEBD于点E,则BDC的周长是 .AC栏目索引研真题优易命题亮点命题亮点本题把圆放到数学文化背景里考查,既普及了数学文化又考查了圆的相关知识,还有助于提高学生的阅读能力.解题思路解题思路认真阅读题中所给“阿基米德折弦定理”的内容,分析清楚定理的条件与结论,然后进行证明.开放解答开放解答解析解析(1)证明:又A=C,MBA MGC.MB=MG.又MDBC,BD=GD.CD=CG+GD=AB+BD.(2)2+2.2栏目索引研真题优易1.如图所示,在O中,=,A=30,则B=( B ) A.150 B.75 C.60 D.15ABAC栏目索引研真题优易例例2(2018山东泰安)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为4.2类型二类型二 圆周角定理及推论圆周角定理及推论栏目索引研真题优易命题亮点命题亮点题型简单,知识点的考查清晰明了,综合考查了圆周角定理和勾股定理.解题思路解题思路连接OB,OC,依据BOC是等腰直角三角形,即可得到BO=CO=2,进而得出O的直径为4.22栏目索引研真题优易2.如图,已知在ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若BAC=40,则所对圆心角的度数是140.AD栏目索引试真题练易1.(2014山西,8,3分)如图,O是ABC的外接圆,连接OA,OB,若OBA=50,则C的度数为( B ) A.30 B.40 C.50 D.80命题点命题点 圆的两个重要性质圆的两个重要性质试真题练易栏目索引试真题练易2.(2015山西,13,3分)如图,四边形ABCD内接于O,AB为O的直径,点C为的中点.若A=40,则B=70.BD栏目索引探难疑知易易错题易错题 如图,点A、B、C在O上,ACOB,BAO=25,则BOC的度数为( A )A.25 B.50 C.60 D.80探难疑知易栏目索引探难疑知易错解错解 A错误鉴定错误鉴定在应用“圆周角度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”时,圆周角和圆心角之间的大小关系不清楚,或者不能正确找出同弧或等弧所对的圆周角、圆心角,从而导致错误.解析解析OA=OB,BAO=25,B=25.ACOB,B=CAB=25,BOC=2CAB=50.故选B.答案答案 B栏目索引探难疑知易如图,O中,弦AB,CD相交于点P,若A=42,APD=77,则B的大小是( B )A.43 B.35 C.34 D.44
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