三角函数与三角变换

专题三：三角函数与三角变换（附参考答案）1.高考要求解读1.1考纲要求：1.1.1三角函数1.任意角、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念（2）能进行弧度与角度的互化。2.三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性。（3）正确理解正弦函数、余弦函数在上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与轴的交点等），理解正切函数在内的单调性。（4）理解同角三角函数的基本关系式：（5）了解函数的物理意义；能画出函数的图像，了解参数对函数图像变化的影响。（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。1.1.2三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量出两角差的余弦公式。（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系。2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。1.2考点解读1.2.1考情分析三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个选择题（或填空题）和一个解答题，其中选择题（填空题）一般多为基础题，解答题为中档题。解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的教会问题。近年宁夏高考题，命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。高考中三角函数所占分值大约在1014分之间。1.2.2考点分析考点一：基本概念考查任意角的概念、弧度制、三角函数的概念、三角函数的符号等。直角三角形中锐角的三角函数定义在与空间几何结合的问题中频繁考查，应予以重视任意角三角函数的定义的应用。其中三角函数的符号是考查重点。考点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明。其中，同角三角函数的基本关系式和三角函数式的求值问题是考查的重点。考点三：考查三角函数的图像和性质考查三角函数图像的画法、性质，性质主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数在的单调性、最大值和最小值、零点、最小正周期等。考点四：函数的图像和性质。考查函数的定义域、值域（最值）、单调性、周期性、对称性等性质等，是三角函数考查的热点。另外对函数的图像伸缩、平移变换的考查也是热点。考点五：考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式。主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的运用。考点六：考查简单的三角恒等变换。主要考查综合运用同学们在以前学习的三角公式，进行一些简单的三角恒等变换，解决化简、求值、证明等问题。考点七：考查三角函数和三角恒等变换的综合应用。本考点是一个考查重点，主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式，进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质。2要点知识分析要点知识复习2.1任意角的三角函数任意角的三角函数定义已知角终边上任意一点的坐标为，则，其中为点到原点的距离.同角三角函数基本关系式诱导公式第一组：关于的诱导公式 记忆方法:函数名不变，符号看象限第二组：关于的诱导公式 记忆方法：函数名变为余函数名，符号看象限2.2函数图像和性质函数、的图像和性质。函数的图像和性质。“五点法”可画出正弦函数、余弦函数的简图，还可利用此法求参数的值。在复习函数的图像时，要掌握由的图像经过平移、伸缩等一系列变换得到函数的图像的变换步骤。求平移的量时，若x的系数不为1，需把x的系数先提出来，提完后在括号中x加或减的那个量才是平移的量。2.3三角变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式。变形公式: 两角和与差的正切公式的变形公式是考查的重点。二倍角公式二倍角的余弦公式正用有升幂的作用；逆用有降幂的作用。在三角变换中要根据具体情境灵活应用。变形公式：3、典型例题例1（本小题满分12分）已知,()求的值.（）求.本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。变式训练：（北京卷）已知函数，（）求的定义域；（）设是第四象限的角，且，求的值例2（江苏卷）【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.变式训练：3等于（ ）例3. 已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力满分12分变式训练：已知函数求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间例4.（本小题满分12分）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值变式训练：(重庆卷)设函数f(x)=+ +a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 例5. 设函数,其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.变式训练：已知为的最小正周期，且求的值本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力本小题满分12分随堂练习一、选择题（本小题共10个小题，每小题5分）1.（全国文）是第四象限角，（ ）2. （全国）函数的一个单调增区间是（ ）ABCD3. （江西文）函数的最小正周期为（）4. （福建文）函数的图象（）关于点对称关于直线对称关于点对称关于直线对称5. （福建文）等于（）6.（宁夏，海南）若，则的值为（）7. （宁夏，海南）已知命题，则（），8（宁夏，海南）函数在区间的简图是（）9（山东文）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位10.（浙江）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）ABCD二、填空题（本题共有5个小题）11.（上海春）函数的最小正周期为 .12.（江苏卷）若，.则. 13.（安徽文）函数的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）图象关于直线对称；图象关于点对称；函数在区间内是增函数；由的图角向右平移个单位长度可以得到图象14.（浙江）已知，且，则的值是 15.（全国II）若f(sinx)3cos2x，则f(cosx) 三、解答题（本题共有5个小题）16.（安徽卷）已知（）求的值；（）求的值。17.（广东卷）已知函数.(I)求的最小正周期；(II)求的最大值和最小值；(III)若，求的值.18.（湖南）（本小题满分12分）已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间19、已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力20（重庆）本小题满分13分，其中（）小问9分，（）小问4分）设（）求的最大值及最小正周期；（）求在的单调递减区间（）若锐角满足，求的值专题训练一、选择题1.已知，且角在第一象限，那么是（ ）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角2.若是第三象限的角，且，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、3.在内，使成立的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、4.将函数的图像上个点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）A、 B、 C、 D、5.已知函数为偶函数，其图像与直线某两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是（ ）A、 B、 C、 D、6.已知，且，那么的值等于（ ）A、 B、 C、 D、7.函数的最小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、 8.若定义在上的函数满足，且，则可以是（ ）A、 B、C、 D、9.（ ）A、 B、 C、 D、 10.将函数的图像按向量平移得到图像，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（ ）A、 B、 C、 D、11.在同一个平面直角坐标系中，函数（）的图像和直线的交点个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、412.已知，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、 二、填空题13.若函数的最小正周期为，则= 14.已知在第三象限，则角的终边在第 象限15.函数的最大值是 16.有以下4个结论：若，那么；是函数的一条对称轴；在第四象限是增函数；函数是偶函数。其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共6小题，第17-21题每小题12分，第22题14分，共计74分）17、已知函数的图像经过点。（1）求实数的值（2）若，且，求的值18、设，函数，且（1）求的值（2）若，求的最大值及相应的值19、已知函数的图像经过点A(0,1)，B()，且当时，取得最大值（1）求解析式（2）求函数的单调区间20、已知函数的最小正周期为（1）求的值，并写出函数的图像的对称中心的坐标（2）当时，求函数的单调递减区间21、设函数，其中向量，（1）求的值及函数的最大值（2）求函数的单调递增区间22、函数（1）求函数的周期和最大值（2）若将函数按向量平移得到函数，而且当时，取得最大值3，求和参考答案典型例题随堂练习一、选择题1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 二、填空题11. 12. 13. 14. 15.三、解答题专题训练一、 选择题1B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C二、填空题1310 14.二 15.2 16. 三、解答题12