数列极限函数极限

1第二章第二章 极限与连续极限与连续21.数列数列若存在正数若存在正数M,对所有的对所有的n都满足都满足 ,则称数列则称数列Mxn |nx为为有界数列有界数列,否则称为否则称为无界数列无界数列.2.1.1 数列的极限数列的极限2.1极限概念极限概念3“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽2.概念的引入概念的引入4R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积n23nA,321nAAAAS5.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放3.数列极限的定义数列极限的定义6. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:.lim,lim,:不不存存在在或或发发散散否否则则称称数数列列记记收收敛敛于于则则称称无无限限趋趋于于一一个个常常数数时时当当设设数数列列直直观观地地nnnnnnnnaaaaaaaana 7例例1: 观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势10,10,10, )1(1|q| )4( nnqy21)3(nxn 1,-1,1,-1, (2)8发散的情况发散的情况:2)1(1limnn 不确定不确定)1(lim nn9(1)收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一.(极限的唯一性极限的唯一性)(2)有极限的数列是有界数列有极限的数列是有界数列.(有界性有界性)4.收敛数列的性质收敛数列的性质10例例2: 求下列数列的极限求下列数列的极限nnnnnnnnnn523lim)3(231lim)2(1lim)1(222 112.1.2 函数的极限函数的极限.)x( f,)f (Dx的变化趋势的变化趋势函数函数中变化时中变化时在在考虑考虑x的变化趋势有的变化趋势有: x:x记记 xx00 xx,xx 000 xx:,xx,xx记记 000 xx:,xx,xx记记Xx:统一简记为统一简记为12.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.13. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:定义定义2.2：.)(lim)()(,)(AxfxxfAAxfxxx 时时的的极极限限，记记为为当当为为函函数数，则则称称一一个个确确定定的的常常数数无无限限趋趋近近于于时时无无限限增增大大当当xxarctanlim 例例：2 1411xlim )2( lim (1)21x22x xx?)()(00Axfxxxxf时时，义义，观观察察的的某某个个去去心心领领域域内内有有定定在在点点例例:二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限15.)(lim)()(,)()(00000AxfxxxfAAxfxxxxxxfxx 时的极限，记为时的极限，记为当当为函数为函数，则称，则称一个确定的常数一个确定的常数无限趋近于无限趋近于时时无限趋近无限趋近当当义，义，的某一去心领域内有定的某一去心领域内有定在点在点设函数设函数定义定义2.3：163.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;xx0 记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;xx0 记作记作yox1xy 112 xy17左极限左极限右极限右极限.)0()(lim00AxfAxfxx 或或.)0()(lim00AxfAxfxx 或或18不不存存在在则则若若)x( flim),x( flim)x( flim)1(000 xxxxxx 不不存存在在且且不不为为无无穷穷大大则则)x( flim),x( flim)x( flim)2(xxx 000 xx,xx:xx包含两个过程包含两个过程 x,x:x包含两个过程包含两个过程A)0 x( f)0 x( fA)x( flim00 xx0 A)x( flim)x( flimA)x( flimxxx 19.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxlimxxlim0 x0 x 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例证证1)1(lim0 x xxlimxxlim0 x0 x 11lim0 x 20例例3： 观察下列函数的变化趋势观察下列函数的变化趋势clim )1(0 xxxlim )2(0 xx)1x2(lim )3(1x x1y )4( x1lim 1x1; x1lim 0 x x1lim 0 x x1ey )5( x10 xelim 0 x10 xelim x1lim 0 x不存在不存在x10 xelim 21)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim,2x 1-x12x1 1-x1x 1/21x xf(x) :42112xfxfxfxfxfxfxxxxxx 求求例例.x,x)x( f,)x( flim00 xx0的的表表达达式式无无关关而而与与远远离离附附近近的的表表达达式式有有关关在在只只与与时时求求22例例5： 求下列极限求下列极限 23lim)1(2 xxx 21lim)2(22xxx xxxxx2lim )3(2320 x 23_)(lim,0,0, 1)( _)(lim,0,0, 1)()4(00 xfxxxxfxfxxxxfxx则则则则1024三、小结三、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx 251 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入261 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入概念的引入27“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入28“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入29“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入30“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入31“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入32“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入33“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入概念的引入关闭关闭34.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义35.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义36.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义37.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义38.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义39.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义40.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义41.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义42.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义43.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义44.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义45.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义46.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn2.数列极限的定义数列极限的定义关闭关闭.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限关闭关闭个人观点供参考，欢迎讨论