牛吃草问题 常用到四个基本公式 解决消长问题的基础

牛吃草(消长问题)开放分类： 数学、题型牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。解决牛吃草问题常用到四个基本公式解决消长问题的基础（2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度（1）草的生长速度对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数（吃的较多天数吃的较少天数）核心公式：草场草量（牛数每天长草量）天数由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变，一般用来列方程每头牛每天吃草量不变，一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“”牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。典型牛吃草问题的条件:假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求:若干头牛吃这片草地可以吃多少天。“牛吃草”问题简析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃天根据核心公式： ，代入【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【答案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供头牛吃一天，根据核心公式： ，代入【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？ A.50B.46C.38D.35【答案】D【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要头牛 根据核心公式：，因此，【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】A.5台B.6台C.7台D.8台【答案】B【解析】设每分钟流入的水量相当于台抽水机的排水量，共需台抽水机有恒等式：解，得，代入恒等式【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】设每分钟流入的水量相当于台抽水机的排水量，共需小时 有恒等式：解，得，代入恒等式【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】A.2周B.3周C.4周D.5周【答案】C【解析】设每天新生长的野果足够只猴子吃，33只猴子共需周吃完 有恒等式：解，得，代入恒等式【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超高如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了(浙江2006)A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时【答案】D【解析】设共需小时就无人排队了，【例8】旅客在车站候车室等车 并且排队的乘客按一定速度增加 检查速度也一定 当车站放一个检票口 需用半小时把所有乘客解决完毕 当开放2个检票口时 只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 设一个检票口一分钟吃一个人 1个检票口30分钟吃30个人 2个检票口10分钟吃20个人 (30-20)/(30-10)=0.5个人 原有1*30-30*0.5=15人 或2*10-10*0.5=15人