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行星的运动、万有引力定律编稿：周军 审稿：吴楠楠【学习目标】1了解地心说与日心说2明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题3知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关理解引力公式的含义并会推导平方反比规律4理解万有引力定律的含义并掌握用万有引力定律计算引力的方法【要点梳理】要点一、地心说与日心说要点诠释：1地心说 地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动公元2世纪的希腊天文学家托勒密使地心说发展和完善起来，由于地心说能解释一些天文现象，又符合人们的日常经验(例如我们看到太阳从东边升起，从西边落下，就认为太阳在绕地球运动)，同时地心说也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以得到教会的支持，统治和禁锢人们的思想达一千多年之久2日心说 16世纪，波兰天文学家哥白尼(14731543年)根据天文观测的大量资料，经过长达40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景 日心体系学说的基本论点有： (1)宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动 (2)地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动 (3)天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象 (4)与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多 随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误注意：古代的两种学说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，鉴于当时自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说能更完美地解释天体的运动以后的观测事实表明，哥白尼日心体系学说有一定的优越性但是，限于哥白尼时代科学发展的水平，哥白尼学说存在两大缺点：把太阳当做宇宙的中心实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念实际上行星轨道是椭圆的，行星的运动也不是匀速的要点二、开普勒发现行星运动定律的历史过程要点诠释： (1)丹麦天文学家第谷连续20年对行星的位置进行了精确的测量，积累了大量的数据到1601年他逝世时，这些耗尽了他毕生心血获得的天文资料传给了他的助手德国人开普勒 (2)开普勒通过长时间的观察、记录、思考与计算，逐渐发现哥白尼把所有行星运动都看成是以太阳为圆心的匀速圆周运动似乎简单了一些，因为它与实际观察到的数据有着不小的出入 (3)开普勒承担了准确地确定行星轨道的任务，他仔细研究了第谷对行星位置的观测记录，经过四年多的刻苦计算，所得结果与第谷的观测数据至少有8的角度误差，那么这不容忽视的8可能就是人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的最后开普勒发现行星运行的真实轨道不是圆，而是椭圆，并于1609年发表了两条关于行星运动的定律 (4)开普勒在发表了第一定律和第二定律后，进一步研究了不同行星的运动之间的相互关系，在1619年又发表了行星运动的第三条定律开普勒提出描述行星运动的规律，使人类的天文学知识提高了一大步，他被称为“创制天空法律者”要点三、开普勒的行星运动定律要点诠释： (1)开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上不同行星椭圆轨道则是不同的 开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内 (2)开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上 如果时间间隔相等，即t2t1t4t3如，那么SASB，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大 (3)开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，即(其中，比值k是一个与行星无关的常量)要点四、对行星运动规律的理解要点诠释： (1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率如图所示，如果时间间隔相等，即t2t1t4t3，由开普勒第二定律，面积A面积B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大 (2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同以后将会证明，开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关 (3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同 (4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解： 大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心； 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有要点五、太阳与行星间引力的推导 要点诠释： (1)假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M则由匀速圆周运动的规律可知 ， 由得 又由开普勒第三定律 ， 由式得 ， 即 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比 (2)根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F也应与太阳的质量成正比，且F-F 即 (3)比较式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的要点六、月地检验 要点诠释： (1)牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人跳起后又能落回地球是因为人受到地球的引力这些力是否是同一种力?是否遵循相同的规律?实践是检验真理的唯一标准，但在当时的条件下很难通过实验来验证，这就自然想到了月球 (2)月一地检验的基本思想：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的1/3600，因为月心到地心的距离约为地球半径的60倍(3)检验过程：牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度 个物体在地面的重力加速度为g9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定律可以导出因为月心到地心的距离是地球半径的60倍， 即其加速度近似等于月球的向心加速度的值 (4)检验结果：月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1/3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律要点七、万有引力定律要点诠释：1.内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。2.公式，其中G为万有引力常量，3.适用条件适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可以用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。4.重力与万有引力的关系在地球(质量为M)表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力，其中，而。（1）当物体在赤道上时F、mg、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值（2）当物体在两极的极点时，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为。（3）因地球自转角速度很小，所以在一般情况下进行计算时认为。【典型例题】类型一、对开普勒定律的考查例1、 (2015 浙江校级二模)假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（ ）A4次 B6次 C7次 D8次 【答案】C【思路点拨】当它们从距离最远到距离最近，转动的角度相差（n=0,1,2,3）【解析】根据开普勒第三定律，其中，故，已知地球同步卫星的运行周期为24h，因而载人宇宙飞船的运行周期，由匀速圆周的角速度可分别得，宇宙飞船的角速度为，同步卫星的角速度为，若追击距离为一个半圆，则所需追击时间为，此后若追击距离变为一个圆周，则追击时间，依次类推： （n=0,1,2,3）可得到24h内共用时完成追击7次【总结升华】首先运用开普勒第三定律求解出同步卫星与宇宙飞船的周期之比，再根据它们之间的角度差计算出24h以内的所有的追击时间，最后统计追击次数。例2、月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样?(6400 km)【思路点拨】月球和人造地球卫星都环绕地球运动，故可用开普勒第三定律求解【解析】当人造地球卫星相对地球不动时，则人造地球卫星的周期同地球自转周期相同 设人造地球卫星轨道半径为R、周期为T根据题意知月球轨道半径为60，周期为T027天，则有：整理得：卫星离地高度 卫星离地高度5.676400km3.63104km 【总结升华】开普勒第三定律，不仅适用于行星绕太阳的运行，也适用于卫星或月球绕地球的运行，在使用时一定要注意公式中是指两行星(或卫星)绕同一中心天体运动举一反三【高清课程：行星的运动 例3】【变式1】地球赤道上的物体A，近地卫星B（轨道半径等于地球半径），同步卫星C，若分别用rA、rB、rC；TA、TB、TC；vA、vB、vC；分别表示三者离地心距离，周期，线速度，则三者的大小关系 ， ， ；【答案】rA=rBTB ， vBvCvA 【高清课程：行星的运动 例1】【变式2】宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是 （ ）A3年 B9年 C27年 D81年【答案】C类型二、太阳与行星间引力的考查例3、已知太阳光从太阳射到地球需要500s，地球绕太阳的公转周期约为3.2107s，地球的质量约为61024kg，求太阳对地球的引力为多大?(结果保留一位有效数字)【思路点拨】地球绕太阳公转，由太阳对地球的引力提供向心力。【解析】地球绕太阳做椭圆运动，由于椭圆非常接近圆轨道，所以可将地球绕太阳的运动看成匀速圆周运动，需要的向心力由太阳对地球的引力提供，即 因为太阳光从太阳射到地球用的时间为500s，所以太阳与地球间的距离Rct(c为光速)，所以 代入数据得F31022N 【总结升华】在有的物理问题中，所求量不能直接用公式进行求解，必须利用等效的方法间接求解，这就要求在等效替换中建立一个合理的物理模型，利用相应的规律。寻找解题的途径举一反三【变式】下列说法正确的是( ) A在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的 C在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的 D在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的 【答案】A、B【解析】开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室无法验证的规律 【总结升华】物理公式的推导是由已知的公式规律在满足一定的条件下推导新的理论方式的一类问题，在公式的推导分析中注意公式的成立条件是关键 类型三、对万有引力定律的考查 例4、如图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距d的质点m的引力是多大？【思路点拨】 此题可用补偿法，将挖去的部分填补上，变成匀质球后，由万有引力公式可求解，再根据力的合成与分解求剩余部分对m的引力。【解析】把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力和剩余部分对质点的引力之和，即填补上空穴的完整球体对质点m的引力挖去的半径为的小球体的质量为，则挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力【总结升华】物体不能看作质点时，不能应用万有引力公式求解，想办法建立理想模型后再应用公式求解。万有引力遵循力的合成与分解原则。举一反三【变式】如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大? (1)从球的正中心挖去； (2)从与球面相切处挖去； 并指出在什么条件下，两种计算结果相同? 【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为 ， (1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为 (2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算为此，可利用等效割补法，先将M转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为 由于填补空心球而增加的引力为 ， 所以，这时M与m之间的引力为 ， 当d远大于R时，M可以视为质点这时，引力变为 即这时两种计算结果相同【总结升华】万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失”球间的引力例5、（2014 课标II高考）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道上的大小为；地球自转周期为T，引力常量为G。地球的密度（ ）A B C D【答案】B【解析】在地球两极处：；在赤道处：，故，则【总结升华】解决此题的关键明确地球表面的物体所受的万有引力与重力的区别，在地球表面的物体所受的重力随纬度的不同而不同。在地球两极所受的重力大，赤道处所受重力小。例6、宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M 【解析】设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则 同理对于第二次平抛过程有 由解得 设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得： 由万有引力定律与牛顿第二定律得： 由可解得出： 【总结升华】本题是平抛与万有引力的综合应用，同学们一定要找到它们之间的联系(中间桥梁)重力加速度
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