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曲线运动、万有引力综合复习编稿：周军 审稿：吴楠楠【学习目标】1.理解运动的合成与分解2.熟练掌握平抛运动、圆周运动3.理解天体问题的处理方法4.理解人造卫星的运动规律【知识网络】一、曲线运动曲线运动的方向：轨迹上某点切线方向曲线运动的条件：合外力与速度方向不共线曲线运动的性质：是变速运动，具有加速度曲线运动的性质对运动以及相应的位移、速度和加速度进行合成或分解运动合成与分解的内容矢量合成与分解的平行四边形法则运动合成或分解的法则合运动与分运动等效性将运动合成或分解的依据等效性同时性独立性合运动与分运动的关系曲线运动的处理方法（运动的合成与分解）斜抛运动斜上抛：初速度方向与重力方向成钝角斜下抛：初速度方向与重力方向成锐角处理方法：与平抛运动的分解方法类似匀变速曲线运动平抛运动定义：平抛运动的条件：只受重力，初速度与重力方向垂直平抛运动的分解方法：水平方向匀速，竖直方向自由落体。平抛运动的规律： 平抛运动 与v0无关 轨迹是抛物线 匀速圆周运动条件：合外力大小不变，方向总是垂直于速度的方向描写的物理量及关系： 力学方程：描写圆周运动的瞬时关系全部成立，如 遵守的公式或规律与匀速圆周运动的不同：向心力F向是质点所受合力的一个分量，即F合F向变速圆周运动非匀变速曲线运动（加速度变化）曲线运动的实例二、万有引力定律轨道定律速度定律周期定律开普勒定律发现过程：地面力学规律向天体推广定律内容：（两质点之间）定律验证：月地检验，预期哈雷彗星等万有引力定律测量天体的质量和密度发现未知天体掌握行星、卫星的运动规律万有引力定律的应用第一宇宙速度：v1=7.9 km / s 意义第二宇宙速度：v2=11.2 km / s 意义第三宇宙速度：v3=16.7 km / s 意义三个宇宙速度根据万有引力定律计算常用公式，【要点梳理】要点一、曲线运动及运动的合成与分解要点诠释：1曲线运动速度的方向（1）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。（2）获取途径：其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。（3）曲线运动的性质：速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。2物体做曲线运动的条件（1）物体做曲线运动条件：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。如人造地球卫星绕地球运行时，它受到的地球的吸引力与它的速度方向不在一条直线上（），所以卫星做曲线（圆周）运动。（2）物体做直线运动条件：当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。（3）物体在运动中合外力切向分量和法向分量的作用：切向分量：改变速度的大小当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。法向分量：改变速度的方向只有使物体偏离原来运动方向的效果，不能改变速度的大小。（4）曲线运动条件的获得途径：其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。3曲线运动轨迹的确定（1）已知x、y两个分运动，求质点的运动轨迹；只要写出x、y两个方向的位移时间关系和，由此消除时间t，得到轨迹方程，便知道轨迹是什么形状。例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。第一：写位移方程 x；第二：消时间t得到轨迹方程；可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。4合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系等时性：质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。等效性：各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。独立性：同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。要点二、抛体运动要点诠释：1抛体运动的分类和性质（1）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。（2）按初速度的方向抛体运动可以分为：竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动；竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动；斜上抛：初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动；斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；（3）匀变速曲线运动的处理方法：以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。2平抛运动的规律（按水平和竖直两个方向分解可得）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，平抛运动的轨迹：是一条抛物线合速度：大小： 即， 方向：v与水平方向夹角为合位移：大小：即， 方向：S与水平方向夹角为一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。3对平抛运动的研究（1）平抛运动在空中的飞行时间：由竖直方向上的自由落体运动得到，飞行时间。由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，物体飞行的时间就越长，与抛出速度的大小无关。（2）平抛运动的射程由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。（3）平抛运动轨迹的研究平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。平抛运动实验探究的构思和方案实验构思：对比实验法：即将平抛运动和自由落体同时进行，对比试验；将平抛运动和水平方向上的匀速运动对比试验；实验方案：a、频闪照相法：在对比实验的过程中，每间隔相等的时间对同时进行的两个运动物体拍照，记录下物体的位置进行研究，寻求运动的规律。b、碰撞留迹法：通过碰撞法留下运动物体不同时刻的位置，描出物体的运动轨迹进行研究。要点三、描写圆周运动的物理量要点诠释：1圆周运动的线速度（1）线速度v的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，通常把这个比值称为圆周运动的线速度。（2）公式： 单位：m / s 方向：沿着圆周各点的切线方向说明：线速度是指物体作圆周运动时的瞬时速度。线速度的方向就是在圆周某点的切线方向。线速度的大小是的比值。所以v是矢量。匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度。注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速度大小不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。2描写圆周运动的角速度（1）角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。（2） 公式： 单位： rad / s（弧度每秒）说明：这里的必须是弧度制的角。对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。关于的方向：中学阶段不研究。同一个转动的物体上，各点的角速度相等。例如：木棒OA以它上面的一点O为轴匀速转动时，它上面各点（各点与圆心O点的连线）的角速度相等。即：OCBA3线速度和角速度的关系：（1）关系： （2）对于线速度与角速度关系的理解：是一种瞬时对应关系，即某一时刻的速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。4向心加速度（1）向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到向心力产生，根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。（2）向心加速度大小的计算方法：由牛顿第二定律计算：；由运动学公式计算：。（3）对向心加速度的认识向心加速度a的方向：沿着半径指向圆心，是一个变量。向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有必然有向心加速度；从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。要点四、关于向心力要点诠释：1向心力的概念（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。向心力的大小：，向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；确定的物体在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。（2）关于向心力的说明：向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小。无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。2向心力的来源向心力不是一种特殊的力。重力（引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。3从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之物体受到的合外力完全充当向心力的角色。例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。（3）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小是：（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）换一种说法就是,在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立。即。4关于离心现象外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。（3）供需关系对物体运动的影响：外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动离心运动；外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动也可称之为向心运动。要点五、万有引力定律要点诠释：1物体的重力随离地面高度h的变化情况物体的重力近似为地球对物体的引力，即近似等于，可见物体重力随h的增大而减小。2地球附近和其它天体表面的重力加速度（1）地球表面的重力加速度地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得（R0为地球的半径）。离地面高h处的重力加速度，根据万有引力 定律，有（R0为地球的半径）（2）天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由得。由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为星球表面的重力加速度既可从它与星球的关系求出，又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直向上抛运动等）中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。3求天体的质量、密度通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力即，得天体质量 。（1）若知道天体的半径R，则天体的密度。（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度。4地球卫星（1）一般做匀速圆周的卫星遵循的规律是：运动规律：线速度、角速度、向心加速度、周期等只取决于中心天体的质量M和轨道半径r。半径越大，线速度、角速度、向心加速度都变小，周期变大。（2）地球同步卫星所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24 h。同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h3.6104 km处。5三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km / s，是人造地球卫星的最小发射速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km / s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.7 km / s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。6解决天体运动问题的方法（1）若卫星或天体沿椭圆轨道运行时，通常由开普勒三定律结合万有引力定律、牛顿运动定律及能量守恒定律解决。（2）若卫星做匀速圆周运动，解题通常由和代换关系解决。（3）解决天体运动问题要重视形成运动情景，理解运动的本质。【典型例题】类型一、对曲线运动的性质和条件的理解例1一个质点受两个互成锐角的力的作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1+F1，则此质点以后的运动（ ）A一定做匀变速曲线运动B在相等时间内速度的变化一定相等C可能做匀速直线运动D可能做变加速曲线运动【思路点拨】分析F1变化后引起合力的变化、特点以及合力与速度方向的关系，运用曲线运动和匀变速运动的条件做出判断。【答案】A【解析】F1变化后引起合力的变大，其方向发生变化，与F1的夹角变小，导致合外力与速度不共线，物体做曲线运动，又因为合力变化后仍为恒力，所以物体做匀变速曲线运动，正确的答案是A。【总结升华】熟练的运用分析运动的方法（即物体的受力特点、合力与运动方向的关系）理解推理判断的依据曲线运动的性质和条件，是顺利解题的关键。类型二、运动的合成与分解在实际问题中的运用例2、（2015 全国II高考）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（ ）A西偏北方向，1.9103m/s B东偏南方向，1.9103m/sC西偏北方向，2.7103m/s D东偏南方向，2.7103m/s【答案】B【解析】根据题意做出此时卫星的速度方向为，若想使速度方向变成所指的方向，则需给卫星一个如图的加速度，利用矢量三角形可判断出附加速度的方向，卫星最终获得的加速度方向为东偏南方向，则发动机给卫星的加速度方向应为东偏南，由余弦定理可求得附加速度的大小。故选：B。【总结升华】本题的关键会根据情境建立物理模型，这就需要较强的理解题意的能力。仔细审题是关键。类型三、对平抛运动的理解例3质点做平抛运动，从抛出开始计时，关于质点的运动情况，有（ ）A第1秒内、第2秒内、第3秒内的水平方向的位移是相同的B第1秒内、第2秒内、第3秒内的竖直方向的位移之比是149C第1秒内、第2秒内、第3秒内的位移之比是135D第1秒内、第2秒内、第3秒内的速度增加量是相同的【思路点拨】真正理解平抛运动所分解成的水平和竖直两个分运动的性质，尤其是自由落体运动的规律。【答案】ACD【解析】平抛运动在水平方向上匀速运动，相等的时间内发生相同的位移，故A选项正确；竖直方向上的自由落体运动是初速度为零的匀加速运动，所以CD选项正确。【总结升华】要顺利地解决平抛运动问题，必须灵活的运用匀变速运动的规律。举一反三【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例2】【变式1】一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）【答案】D【变式2】关于物体的平抛运动，下列说法正确的是（ ）A由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动B由于物体的速度方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动C物体运动时间只由抛出时的高度决定，与初速度无关D平抛运动的水平距离，由抛出点高度和初速度共同决定【答案】ACD【思路点拨】弄清楚平抛运动的受力特点和水平方向、竖直方向的具体运动情况，是回答问题的关键。【解析】平抛运动受到恒定的重力作用，做匀变速运动，选项A正确；由平抛运动的规律知，物体运动时间是只由抛出时的高度决定，与初速度无关，C选项正确；平抛的水平距离，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的竖直距离越大时，射程也越大，D选项正确。【总结升华】重视理性思维，不能想当然的认为曲线运动就不是匀变速运动，平抛的初速度越大时物体运动的时间就越长。类型四、平抛运动的计算极值问题例4如图所示，AB为斜面，倾角为30，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点，求：（1）A、B间的距离；（2）物体在空中飞行的时间；（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？【思路点拨】由小球的落点B在斜面上，找出小球水平位移和竖直位移的关系或两位移AB的关系；从运动过程分析入手找出小球离斜面最远的条件速度方向和斜面平行运用平抛运动通常的分解方法计算。【解析】（1）、（2）设飞行时间为t，则水平方向位移：，竖直方向位移：，解得 ，。（3）设抛出t后小球与斜面间距离最大，由图可知，此时速度vt与斜面平行，由图速度矢量三角形可知，即 ，。类型五、平抛运动的计算临界问题例5、（2015 全国I高考）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】水平位移最小即对应着最小速度，沿中线方向恰好过球网，下降高度为3h-h=2h，水平位移为，此时。水平位移最大即斜向对方台面两个角发射，此时位移大小为： ，可求出此。故选：D。【总结升华】认真审题，注意体会“乒乓球能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球”，找出对应的水平最大位移是：乒乓球落到右侧台面两桌角处的位移，再求出对应的最大速度。举一反三【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例4】【变式】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。（2）求绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？【思路点拨】将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。【解析】（1）在绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，（2）设绳子承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的最大拉力，球做圆周运动的半径由向心力公式 （3）设绳长为l,绳断时球的速度大 小为v，绳承受的最大拉力不变，有 得绳断后球做平抛运动，竖直位移为,水平位移为x，时间为t1，有 得 当时，x有极大值【总结升华】（1）将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。（2）应用数学方法求解物理题中的极值问题也是常用的方法。类型六、线速度、角速度、向心加速度大小的比较和计算例6如图所示为一皮带转动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑。则( ) Aa点与b点的线速度大小相等Ba点与b点的角速度大小相等Ca点与c点的线速度大小相等Da点与d点的向心加速度大小相等【思路点拨】根据同一皮带上的线速度相等，同一轮上的角速度相等可解。【答案】CD【解析】 所以，故A、B错a点向心加速度：d点向心加速度：c点向心加速度：所以，即a点与d点的向心加速度大小相等。【总结升华】解答此类问题时应熟记：绕同一轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动或齿轮传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。举一反三【变式】如图所示，定滑轮的半径r=2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2 m / s2做匀加速运动。在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度多大？向心加速度a多大？ 【思路点拨】物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落1 m时的瞬时速度，然后利用角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。 【解析】（1）重物下落1 m时，瞬时速度为 显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m / s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为：（2）向心加速度为：a=2r=10020.02 m / s2=200 m / s2【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系（v=r），向心加速度与角速度、线速度的关系仍然成立。类型七、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动例7在水平转动的圆盘上距转动中心10 cm处放着的物块随圆盘一起转动。若物块质量m=0.1 kg，圆盘转速为n=1 转秒，求物块与圆盘间的静摩擦力。【思路点拨】明确向心力的来源，知道向心加速度的大小问题便得到解决。【解析】由题意可知，物块m作匀速圆周运动，其向心加速度，an=42n2r。对圆周运动的物体受力分析：该物块除受重力和支持力（一对平衡力）外，还受一个沿圆盘平面的摩擦力，这个摩擦力就是物块受到的合力，也就是它做匀速圆周运动的向心力。所以摩擦力的方向指向圆心。【总结升华】静摩擦力提供物块做匀速圆周运动的向心力，方向沿着半径指向圆心，切不可认为与线速度的方向相反。类型八、圆周运动综合问题例8如图甲所示，已知绳长米，水平杆长L=0.1米，小球m的质量m=0.3千克，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30角。 （1）试求该装置转动的角速度；（2）此时绳的张力是多大？【思路点拨】此题实质上是一个圆锥摆变形问题，按照动力学问题的常规解法，注意弄清轨道平面、圆心位置，并找出圆周运动的半径，问题得到解决。【解析】当整个装置以角速度转动时，小球m将做圆周运动，圆周运动的圆心在竖直轴上，且和m在同一水平面上。小球m只受到两上力的作用，重力G=mg，及绳子的拉力F。而这两个力的合力即为小球所受到的向心力Fn。解法一：用正交分解法和公式Fn=man可得Fsin=m2rFcosmg=0由几何知识可得，r=L+sin，把已知数据代入得解之得 =5.37 rad / s F=3.46 N解法二：此题中，m只受两个力的作用，所以用平行四边形法则解也很方便。由上面的分析已知，物体受竖直向下的重力。大小为mg受绳的拉力F作用。只知道它的方向与竖直方向夹角，又因为小球m在水平面内做匀速圆周运动，所以受到水平向左（指向圆心）的合外力，即上述重力和拉力的合力水平向左。由这四个已知（mg的大小、方向、F的方向及Fn的方向）可得图乙的平行四边形。解这个平行四边形可得又根据牛顿第二定律 且 【总结升华】（1）牛顿第二定律是解圆周运动的重要依据，对做圆周运动的物体进行受力分析就是必不可少的了。因此我们在解圆周运动问题时，几乎无一例外地要首先画草图对物体进行受力分析。（2）在圆周运动中，向心力的方向往往为已知，而这个已知条件在受力分析中充当重要角色。在解法一中因为知道合外力（向心力）的方向，在正交分解法中才能列出方向，。在解法二中，因为知道合外力（向心力）方向，才能得到图乙的平行四边形。类型九、圆周运动的临界问题例9绳的一端固定，另一端系一质量为m=0.5 kg的小球，绳长L=60 cm，使小球在竖直平面内做圆周运动。求：（1）小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为多大？（2）小球在最高点速度v=3 m / s时，小球对绳的拉力多大？【解析】（1）小球刚好能做圆周运动，在最高点绳的拉力为零，所以2.42 m / s。（2）v=3 m / sv0只靠重力已不足以提供小球做圆周运动所需向心力，此时绳对球有一向下的拉力，由牛顿第二定律，得，代入数据解得FN=2.5 N，由牛顿第三定律知球对绳的拉力FN=FN=2.5 N，方向竖直向上。【评价】掌握无物体支撑的小球在竖直平面内的圆周运动的分析问题。类型十、万有引力与重力的关系例10太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量G=6.671011 Nm / kg2，求此行星的平均密度。【解题思路】物体在两极只受到两个力重力和弹簧的拉力作用，而处于平衡状态，根据共点力平衡条件可得 被称物体在赤道处时，受到万有引力和拉力作用，绕地心做匀速圆周运动的向心力就等于万有引力与拉力的合力，则有 根据题意可知 F2=(110%) F1 解式可得，则此行星的平均密度为。【总结升华】（1）在行星（或地球）上的物体随行星（或地球）自转所需要的向心力是由万有引力提供的，向心力是万有引力的一个分力，另一个分力使物体压紧地面或拉紧悬线，这个分力就是重力。（2）在行星的两极处的物体，由于随行星自转所需要的向心力为零，故万有引力等于其重力。（3）在赤道处的物体，随行星自转所需的向心力最大，此时，万有引力的另一个分力重力最小，且由于万有引力、重力和向心力同向，则三个力满足，即。式中为行星自转的角速度。由此可知，越大，重力mg会越小，当大到一定值0时，会有，这时物体的重力为零，对赤道表面无压力。当0时，赤道处的物体会被甩出，这时，行星将解体。类型十一、用万有引力定律测天体重量例11把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5108 km，已知万有引力常量G=6.671011 Nm2 / kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）【解析】题干给出地球轨道半径r=1.5108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告诉我们，地球绕太阳公转一周为365天，故周期T=365243600 s=3.2107 s。万有引力提供向心力，即 ，故太阳质量 【总结升华】在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=9.8 m / s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T=365天；月球绕地球运动的周期约为27天等。本方法利用卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身的质量m，同学们应切记这一点。本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。类型十二、综合运用牛顿运动定律、万有引力定律和匀速圆周运动知识求解天体运动问题例12、分析卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系。解析：天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即。由此得出 ，即线速度；，即角速度；，即周期；，即向心加速度。【总结升华】卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度、向心加速度a变大。举一反三【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例8】【变式】1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则（ ） A.卫星在M点的势能大于N点的势能 B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D.卫星在N点的速度大于7.9km/s 【答案】BC 类型十三、卫星变轨问题例13、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ） A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它的轨道2上经过Q点时的加速度D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【解题思路】卫星做匀速圆周运动所需的向心力，是地球给卫星的万有引力提供的，即，所以，。据此得出A是错误的，B是正确的。在轨道上某点的加速度是由地球给卫星的万有引力产生的，即，所以在同一点是相等的，故D是正确的。【答案】BD【总结升华】当卫星在不同轨道上同一点运行时，速度是不相等的。卫星在轨道1上做圆周运动，如果在Q点速度变大，万有引力不足以提供向心力，则卫星可能变轨到轨道2上。同理在轨道2上的P点加速时，可能变轨到轨道3上，但是在同一点万有引力相同，故加速度是相同的。
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