大学物理：第六章 气体分子运动论

上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系第六章第六章 气体分子运动论气体分子运动论气体分子运动论与热力学是从气体分子运动论与热力学是从微观微观与与宏观宏观两种不同的尺度研究热学观点的两种不同的尺度研究热学观点的方法。分子运动论结合统计方法给宏方法。分子运动论结合统计方法给宏观热学规律以微观的可靠解释，这种观热学规律以微观的可靠解释，这种宏观物理次序用组成体系的微观粒子宏观物理次序用组成体系的微观粒子的运动进行解释是二十世纪物理学进的运动进行解释是二十世纪物理学进展的典型例子，说明人类对自然界的展的典型例子，说明人类对自然界的认识从宏观深入到微观，进入到一个认识从宏观深入到微观，进入到一个全新的物质结构层次。全新的物质结构层次。玻耳兹曼2,3,4,5,10,16上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系核心问题：核心问题：温度与热量温度与热量但是一经辨别清楚，就使得科学得到飞速的发展。但是一经辨别清楚，就使得科学得到飞速的发展。 -爱因斯坦爱因斯坦温度代表热的强度，热量代表热传递的数量温度代表热的强度，热量代表热传递的数量温度：冷热的感觉。温度：冷热的感觉。热的本质：传递给一个物体的能量。它以分子热热的本质：传递给一个物体的能量。它以分子热运动形式储存在物体中。运动形式储存在物体中。1 Cal : 标准大气压下，使标准大气压下，使1g 纯水的温度每升高一纯水的温度每升高一度所需要的热量。度所需要的热量。1 Cal = 4.184 J上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系热物理学热物理学 组成物质的分子或粒子都在作永不停息的无规则运组成物质的分子或粒子都在作永不停息的无规则运动，称为动，称为热运动热运动。大量分子热运动的集体效应在宏观。大量分子热运动的集体效应在宏观上表现为物体的热现象和热性质。上表现为物体的热现象和热性质。 研究分子热运动，讨论热现象的规律、分析物体热研究分子热运动，讨论热现象的规律、分析物体热性质的理论称为性质的理论称为热物理学热物理学。热物理学包括宏观理论和微观理论。热物理学包括宏观理论和微观理论。n 宏观理论宏观理论热力学热力学：以观察和实验为基础，通过：以观察和实验为基础，通过归纳和推理得出有关热现象的基本规律，因而其结论归纳和推理得出有关热现象的基本规律，因而其结论普遍而且可靠。普遍而且可靠。n 微观理论微观理论分子动理论分子动理论：从分子结构和分子运动：从分子结构和分子运动出发，应用力学规律和统计方法，研究大量分子热运出发，应用力学规律和统计方法，研究大量分子热运动的集体效应，从微观本质上解释热现象和热性质。动的集体效应，从微观本质上解释热现象和热性质。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系分子动理论分子动理论 热学是研究与热现象有关的规律的科学。热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为热运动。大量分子的无规则运动称为热运动。宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相成。热学的研究方法：热学的研究方法：1.宏观法宏观法. 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理(运用数学运用数学) -称为热力学。称为热力学。 优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点缺点：未揭示微观本质。：未揭示微观本质。2.微观法微观法. 物质的微观结构物质的微观结构 + 统计方法统计方法 -称为统计力学称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点缺点：可靠性、普遍性差。：可靠性、普遍性差。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n理想气体状态方程理想气体状态方程n理想气体的压强公式理想气体的压强公式n麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律n玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律n能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理n气体的输运过程气体的输运过程本章提要本章提要上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n热力学体系热力学体系n平衡态和非平衡态平衡态和非平衡态n状态参量、温度，温标状态参量、温度，温标n理想气体状态方程理想气体状态方程n道尔顿分压定律道尔顿分压定律6.1理想气体状态方程理想气体状态方程 本节提要本节提要上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例：若汽缸内气体为系统，其它为外界例：若汽缸内气体为系统，其它为外界一、热力学系统一、热力学系统(体系体系)热力学系统热力学系统热力学研究的对象热力学研究的对象它包含极大量的分子、原子。它包含极大量的分子、原子。 阿佛加德罗常数阿佛加德罗常数 NA =6.0231023 个个/摩尔摩尔外界外界热力学系统以外的物体热力学系统以外的物体系统系统外界外界质量、能量交换质量、能量交换孤立体系孤立体系 与外界无物质和能量的交换。与外界无物质和能量的交换。封闭体系封闭体系 与外界无物质交换，有能量交换。与外界无物质交换，有能量交换。开放体系开放体系 与外界有物质和能量的交换。与外界有物质和能量的交换。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系二、宏观态与微观态二、宏观态与微观态 对热力学系统的两种描述方法：对热力学系统的两种描述方法：1. 宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如如 M、V、E 等等-可以累加，称为广延量。可以累加，称为广延量。 P、T 等等-不可累加，称为强度量。不可累加，称为强度量。2. 微观量微观量 描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量如分子的质量m、 直径直径 d 、速度、速度 v、动量、动量 p、能量、能量 等。等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果， 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。动态平衡动态平衡箱子假想分成两相同体积箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。两侧粒子数相同。粒子数是宏观量粒子数是宏观量平衡态平衡态在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态，称为状态，称为平衡态平衡态。反之，就称为非平衡态。反之，就称为非平衡态。讨论讨论处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。这称为动态平衡。的宏观量不随时间改变。这称为动态平衡。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系宏观态与微观态的关系宏观态与微观态的关系可能的状态数：可能的状态数：4可能的状态数：可能的状态数：8 = 23若为若为N个分子，则可能的状态数为个分子，则可能的状态数为: 2N微观状态微观状态上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系1234LLLLL L L RL L R LL R L LR L L LL L L R R RL R R L L RR L R L R LR R L R L LL R R RR L R RR R L RR R R LRRRRnn403 1221304C(n) 146414个分子个分子 C(n)表示当分子中有表示当分子中有n个处于箱子的某一半边时分个处于箱子的某一半边时分子的可能组态数子的可能组态数某一宏观态出现的几率：某一宏观态出现的几率： NnnCp2上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系1234LLLLL L L RL L R LL R L LR L L LL L L R R RL R R L L RR L R L R LR R L R L LL R R RR L R RR R L RR R R LRRRRnn403 1221304C(n) 146411、一个宏观态对应多个微观态、一个宏观态对应多个微观态2、每一个微观态等几率地出现、每一个微观态等几率地出现3、最无序的状态出现的几率最大、最无序的状态出现的几率最大上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系三、平衡与涨落三、平衡与涨落处在平衡态的系统的宏观量，如压强，不随时间改变，处在平衡态的系统的宏观量，如压强，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。一个与外界没有能量、质量交换的系统，经一定时间一个与外界没有能量、质量交换的系统，经一定时间后达到稳定的，不再有宏观状态的变化。此时，系统后达到稳定的，不再有宏观状态的变化。此时，系统内各部分的宏观性质均相同。内各部分的宏观性质均相同。Ntt t驰豫时间驰豫时间上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系四、分子动理论的基本假设四、分子动理论的基本假设1、分子数大量，作不停的、分子数大量，作不停的杂乱运动杂乱运动。实验依据：扩散现象、实验依据：扩散现象、布朗运动布朗运动2、分子间存在相互作用，不断地作相互碰撞，碰撞频、分子间存在相互作用，不断地作相互碰撞，碰撞频 率较高。率较高。 分子直线运动路程不大分子直线运动路程不大没有碰撞就没有杂乱运动没有碰撞就没有杂乱运动3、从整体看，大量分子运动满足、从整体看，大量分子运动满足统计规律统计规律。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系热力学第零定律温度和温标热力学第零定律温度和温标一、热力学第零定律一、热力学第零定律 温度温度达到热平衡的系统具有共同的内部属性达到热平衡的系统具有共同的内部属性温度温度热力学第零定律热力学第零定律AB当当A、B与与C同时达到热平衡时，同时达到热平衡时，A与与B也必然处于也必然处于热平衡热平衡。ACB导热壁导热壁热平衡热平衡上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系二、温标二、温标确定温度数值的表示方法确定温度数值的表示方法温标温标（1）选定测温质）选定测温质（2）选定与温度单调变化的属性）选定与温度单调变化的属性（3）假定测温属性与温度成线性关系）假定测温属性与温度成线性关系（4）选定温度标准点，将温度计分度）选定温度标准点，将温度计分度 不同测温质或不同测温属性测量同一温度数不同测温质或不同测温属性测量同一温度数值可能不同。值可能不同。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系三、理想气体温标和状态方程三、理想气体温标和状态方程理想气体理想气体1. 玻意耳定律：一定量气体一定温度下，它的压强玻意耳定律：一定量气体一定温度下，它的压强 和体积的乘积是一个常量。和体积的乘积是一个常量。CPV 2. 理想气体：严格遵守玻意耳定律的气体理想气体：严格遵守玻意耳定律的气体即实际气体在压强趋于零的极限情况。即实际气体在压强趋于零的极限情况。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系气体另一状态：气体另一状态：T, P, VtrtrtrVPPVTTtrtrtrtrtr16.273VPPVVPPVTT)K(16.273trPPCV 定容气体温度计定容气体温度计2. 令水的三相点温度为：令水的三相点温度为： K 16.273trTtrtr,VP理想气体温标理想气体温标1. 令气体令气体TPV 设气体在此温度下的压强和体积为设气体在此温度下的压强和体积为上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系气体泡气体泡真空真空)(lim16.273tr0trppTp 当气体压强趋于零时所确定的温标与气体种类无当气体压强趋于零时所确定的温标与气体种类无关关理想气体温标。理想气体温标。水银贮管水银贮管液体样品液体样品软管软管上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 理想气体温标与热力学温标一致理想气体温标与热力学温标一致15.273)K()C(Tt热力学温标热力学温标理论上存在一个与测温质、测温属性无关的温理论上存在一个与测温质、测温属性无关的温标标热力学温标。热力学温标。 定义摄氏温度定义摄氏温度上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系理想气体状态方程理想气体状态方程1mol 理想气体理想气体:000VPPVTTTTVPPV000标准状态：标准状态：)molm(1041.22 )K(15.273)Pa(10013. 11330050VTP)KmolJ (31. 811 -000TVPR摩尔气体常数摩尔气体常数 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系m/M mol 理想气体理想气体:RTMmPV m 气体质量气体质量M 气体摩尔质量气体摩尔质量RT000VPPVTTTTVPPV0001mol 理想气体理想气体:上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系)KJ (1038. 11 -23ANRk玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数RTNNPVAnkTP m/M mol 理想气体理想气体:RTMmPV m 气体质量气体质量M 气体摩尔质量气体摩尔质量NkT上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系理想气体微观模型压强和温度的统计意义理想气体微观模型压强和温度的统计意义 一、一、 气体分子热运动的特征气体分子热运动的特征1. 分子间平均间距比分子本身尺度大得多分子间平均间距比分子本身尺度大得多2. 分子间平均间距比相互作用力程大得多分子间平均间距比相互作用力程大得多3. 无规则热运动，频繁碰撞无规则热运动，频繁碰撞二、二、 理想气体分子运动模型理想气体分子运动模型（1）大小不计）大小不计（3）弹性碰撞）弹性碰撞（2）除碰撞外自由）除碰撞外自由（4）不计重力）不计重力1. 理想气体的微观描述理想气体的微观描述上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系2. 统计规律性统计规律性对于由大量分子组成的气体，虽然每个分子的运动对于由大量分子组成的气体，虽然每个分子的运动遵守动力学规律，但因分子间频繁的碰撞，使得遵守动力学规律，但因分子间频繁的碰撞，使得单单个个分子的运动具有分子的运动具有偶然性偶然性。正是单个分子的运动的。正是单个分子的运动的偶然性，才使大量分子的偶然性，才使大量分子的整体整体出现了出现了规律性规律性，这种，这种规律性具有规律性具有统计平均统计平均的意义，称统计规律性。的意义，称统计规律性。3. 对大量分子组成的气体系统的统计假设对大量分子组成的气体系统的统计假设（1）气体处在平衡态时，分子在容器中的空间分布）气体处在平衡态时，分子在容器中的空间分布 平均来说是平均来说是均匀均匀的的 VNVNndddV体积元体积元（宏观小，微观大）（宏观小，微观大）上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系道尔顿分压定律道尔顿分压定律分压强：混合气体中某种组分的气体在相同温分压强：混合气体中某种组分的气体在相同温度下单独占有混合气体原有体积时的压强。度下单独占有混合气体原有体积时的压强。对于对于m种组分的混合气体种组分的混合气体数密度数密度 minnnnn 21表明混合理想气体表明混合理想气体混合气体压强混合气体压强的总压强等于各组分气体分压强之和。的总压强等于各组分气体分压强之和。mippppp 21 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n理想气体的等概率假说理想气体的等概率假说n理想气体的压强公式理想气体的压强公式n温度的统计意义温度的统计意义本节提要本节提要6.2理想气体的压强公式理想气体的压强公式上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系理想气体的等概率假说理想气体的等概率假说n 平衡态时，若忽略重力的影响，处于地面附近容器平衡态时，若忽略重力的影响，处于地面附近容器内的气体，每个分子处于容器包围的空间中任一点内的气体，每个分子处于容器包围的空间中任一点的机会的机会(称为概率称为概率)是相同的，即分子的数密度是相同的，即分子的数密度n处处处处相同。相同。2222zyx n 平衡态时，每个分子速度按方向的分布是完全相同平衡态时，每个分子速度按方向的分布是完全相同的，此即速度方向的等概率假说。的，此即速度方向的等概率假说。由以上假设可知速度的每个分量的平方的平由以上假设可知速度的每个分量的平方的平均值应该相等。即均值应该相等。即222zyx222231 zyx上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系（2）气体在气体在平衡态时，具有相同速率的分子向各个方向平衡态时，具有相同速率的分子向各个方向 运动的平均分子数是相同的运动的平均分子数是相同的若定义若定义NvvixixNvvixix22上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系分子施于器壁的冲量是分子施于器壁的冲量是 。理想气体理想气体的压强公式大量分子通过与壁的碰撞，形成压强大量分子通过与壁的碰撞，形成压强把所有分子按速度分类：把所有分子按速度分类：第第 i 组分子的速度在组分子的速度在 区间区间 ni 为该组的分子数密度为该组的分子数密度iiivdvvivxixixiximvmvmvp2)()(ixmv2考虑第考虑第 i 组分子与组分子与 dS 面碰撞的分子动量增量面碰撞的分子动量增量dS上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系理想气体理想气体的压强公式ivxdS在在 dt 时间内与时间内与 dS 碰撞的分子数碰撞的分子数dtdSvnixi分子动量改变量分子动量改变量分子施于器壁的冲量分子施于器壁的冲量)(2dtdSvnmvixiix在在 dt 时间内所有与时间内所有与 dS 碰撞的分子冲量碰撞的分子冲量iixidtdSvmndI22)0(2ixviixidtdSvmndI上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系理想气体理想气体的压强公式)0(2ixviixidtdSvmndI)0(2ixviixivmndtdSdInvnviixix22txEnvmnvmnvmndtdSdIp32)21(3231222tnp32压强是分子平动动能的统计平均值压强是分子平动动能的统计平均值注：注： 宏观量宏观量P P微观量微观量t2,v上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系温度的统计意义温度的统计意义kTk23 系统的温度越高，分子的平均平动能就越大系统的温度越高，分子的平均平动能就越大温度是分子平均平动能的量度温度是分子平均平动能的量度温度是表征物质内部分子不规则运动激烈程度的物温度是表征物质内部分子不规则运动激烈程度的物理量。理量。温度只对系统而言，对一个分子无意义温度只对系统而言，对一个分子无意义平动动能只与平动动能只与 T 有关与有关与 m 无关无关kTt23MRTmkTv332均方根速率：均方根速率：MRNmkNmkAAnkTP tnp32上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例：两瓶不同的气体，其分子的平均平动动能相等，例：两瓶不同的气体，其分子的平均平动动能相等，但分子密度不同，问它们的温度是否相等？压强但分子密度不同，问它们的温度是否相等？压强是否相等？是否相等？nkTpikTt2321tt21TT 21nn 21TT 21pp 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n 统计规律性与分布函数统计规律性与分布函数n 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律n 最概然速率最概然速率n 平均速率平均速率n 方均根速率方均根速率本节提要本节提要6.3麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系每个小球落到第每个小球落到第i个槽的概率个槽的概率iiixchNiiiiixhCNNh(x)dxh(x)dxNdN 0 x i当iiiiiixhxhNN统计规律性与分布函数统计规律性与分布函数dxxhxhxf)()()(NdxdNxf)(令令得到得到分布函数分布函数上式表明：小球落在上式表明：小球落在x附近附近dx区间内的概率正比区间内的概率正比于于dx的宽度；分布函数表示小球落入的宽度；分布函数表示小球落入x附近单位宽度附近单位宽度狭槽内的概率，或者说是小球落在狭槽内的概率，或者说是小球落在x处的概率密度。处的概率密度。NdN)(xf)(xf取取X表示狭槽的水平位置表示狭槽的水平位置取取h表示狭槽内积累小球的高度表示狭槽内积累小球的高度第第 i 个槽个槽上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系dvvekTmdvvfNdNkTmv22232)2(4)( 速率速率 到到 范围内分子数范围内分子数 在总分子数在总分子数 N 中所占的比率为中所占的比率为vdvv dNdvvfNNvv21)(称为麦克斯韦速率分布函数。左图为对应曲称为麦克斯韦速率分布函数。左图为对应曲线。速率在线。速率在 到到 之间的分子的概率为之间的分子的概率为2v1v麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1)(0dvvf为归一化条件。为归一化条件。22232)2(4)(vekTmvfkTmv 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系NNvvfdd)( 含义含义？NvvNfdd)( 含义含义？代表速率代表速率 v 附近单位速率区间内分子数占总数比率附近单位速率区间内分子数占总数比率定义定义：vNNvNNvfvddlim)(0上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系SfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数v)(vfovvv dSd表示速率在表示速率在 区间区间的分子数占总数的百分比的分子数占总数的百分比 .NNSvvv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比.vvvd 物理意义物理意义 表示在温度为表示在温度为 的平衡状态下，速的平衡状态下，速率在率在 附近附近单位速率区间单位速率区间 的分子数占总的分子数占总数的百分比数的百分比 .vT 的物理意义：的物理意义：vvf)d()(vfNdvNfd)(v上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系v)(vfo1vS2vvv d)(dNfN 速率在速率在 内分子数：内分子数：vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的区间的分子数：分子数：21vv vvvvd )(21fNN速率位于速率位于 区间的区间的分子数占总数的百分比：分子数占总数的百分比：21vv 10dvvf)(曲线下的总面曲线下的总面积恒等于积恒等于1上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系求平均值：求平均值：NNvv0d0d)(vvvfNNvv022d02d )(vvfv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfRTRTmkTvp41. 122与麦克斯韦分布曲线峰值对与麦克斯韦分布曲线峰值对应的速率称为最概然速率应的速率称为最概然速率。pv上式表明：上式表明： 随温度随温度T的升高而增大，随分子的升高而增大，随分子质量质量m的增大而减小。的增大而减小。v)(vfopvmaxfkNRmNMAA, 气体在一定温度下分布在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多附近单位速率间隔内的相对分子数最多.物理意义物理意义pv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 RTRTmkTv60. 188 RTRTmkTv73. 13322v方均根速率方均根速率v平均速率平均速率NvdNv022)(dvvfvv022)(dvvfvv故NdvvvNf0)(0)(dvvvf上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系麦克斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率22232)2(4)(vekTvfvkTpvv2vf(v)vo2vvvp上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例：说明下列各式的物理意义：说明下列各式的物理意义vNNvfdd)(vvfd)() 1 (vvNfd)()2(21d)()3(vvvvf21d)()4(vvvvNf2121d)(d)()5(vvvvvvfvvvfNNdNdNNN2121d)(d)(vvvvvvNfvvNvf2121ddvvvvNNv,21vvv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n 讨论分子速度分布，用讨论分子速度分布，用最概然速度最概然速度三种速率各有不同的含义和用处三种速率各有不同的含义和用处n 讨论气体输运过程中分子的平均自由程，讨论气体输运过程中分子的平均自由程，用用平均速度平均速度n讨论气体压强、内能的热容中计算分子讨论气体压强、内能的热容中计算分子的平均动能时，用的平均动能时，用方均根速率方均根速率上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律0v)(vF1m12mm 粒子质量变小：粒子质量变小：n 气体分子速率增大气体分子速率增大n Vp增大增大n 曲线变宽曲线变宽MkTvp2粒子质量与气体分子速度关系粒子质量与气体分子速度关系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例：图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？对应的是氢气？解：解：MkTvp2(1) T1 T2(2)红：氧红：氧 兰兰：氢：氢 f(v)vT1T22pv1pv温度升高：温度升高：n 气体分子速率增大气体分子速率增大n Vp增大增大n 曲线变宽曲线变宽f(v)与温度关系与温度关系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例 氦气、氧气分子数均为氦气、氧气分子数均为N ，Heo22TT速率分布曲线如图，且阴影面积为速率分布曲线如图，且阴影面积为 S ,哪条是氦气？哪条是氦气？PHePO2 vvov的意义的意义vvfvfNvd )()( 0AB对应的物理意义对应的物理意义求：求：(1)(2)(3)(4)(vfvovABo上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系21HeOHeOPHePO222TMMTvv对应于两种气体分子速率大于对应于两种气体分子速率大于vo的分子数差的分子数差 是氦气是氦气B(1)21 PHePO2vv(2)ovv 时两种气体分子分布几率相同。时两种气体分子分布几率相同。(3)(4)SNvvfvfNv1d )()( 0AB解：解：)(vfvovABo上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系pp201. 12223d24vvkTvvvekTNNpp01. 0,2vvkTv3103 . 8NN解解: 例例 求气体分子速率处在求气体分子速率处在 的分子数占全的分子数占全部分子的比率。部分子的比率。pvp01. 1vvvekTkTv2p2232p24速度很小的范围速度很小的范围上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系000002 20 )(vvvvvaavvvvavf解：解：例例 有有N个粒子，其速率分布函数如图个粒子，其速率分布函数如图:(1) 由由N 和和v0求常数求常数 a。(2) 求粒子的平均速率。求粒子的平均速率。(3) 求求 0 v 0 粒子的平均速率。粒子的平均速率。av0v)(vfo2v0上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系0d)(vvvfv(2)(3)02000000d)2(dvvvvaavvvvavvvv0000d)(d)(vvvvfvvvfv032vav0v)(vfo2v001va 1d)(0vvf(1)上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系mmrrddc质量连续分布的物体：质量连续分布的物体：2121d)(d)(vvvvvvfvvvf2121d)(d)(vvvvvvNfvvNvf2121ddvvvvNNv,21vvv00d)(d)(vvfvvvf00d)(d)(vvNfvvNvf00ddNNvv, 0 v0d)(vvvfv1d)(0vvf上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 212121vvvvvvdvvfdvvvfv)()( 2121vvvvdvvvfv)(速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率之间的气体分子的平均速率上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系 例例 两种理想气体分子数分别为两种理想气体分子数分别为 某一温度下，某一温度下，速率分布函数分别为速率分布函数分别为 ，问此温度下，问此温度下A，B 组组成系统的成系统的速率分布函数如何？速率分布函数如何？BA,NN)(),(BAvfvf解：解：速率在速率在vvvd分子数分子数BAdddNNNvvfNNd)()(BABNNvfNvfNvfABBAA)()()(vvfNvvfNd)(d)(BBAA上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系)21( )(2vf例例 理想气体，温度理想气体，温度T，求气体分子按平动动能的，求气体分子按平动动能的 分布率分布率并求最可几动能。并求最可几动能。2212vv2dd vkTekTf212312)(kT21P)21,23(2PkTvkTd)(d)(dfvvfNN(1)0d)(df(2)解：解：上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系三、速率分布实验测量三、速率分布实验测量AgGB3S2S1S真空泵真空泵上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系6.4玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何推广：推广：（1）气体分子处于外力场中，分子能量）气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek（2）粒子分布不仅按速率区）粒子分布不仅按速率区vv+dv间分布，还应间分布，还应 按位置区间按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布分布dxdydzenNdkTEp 0上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系处于该区间的分子数：处于该区间的分子数：rvCNkTddedzyxvvvCNkTzyxkTddde )ddde(dpkzyxnkTdddep0含义含义?zyxnNkTdddedp0kTnzyxNnpedddd00p0：n时的分子势能。时的分子势能。中的分子数中的分子数积元积元气体分子处在空间小体气体分子处在空间小体dxdydzNd 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系假定体积元假定体积元dxdydz中的分子中的分子数仍含有各种速率的分子，数仍含有各种速率的分子，且遵守麦克斯韦分布律且遵守麦克斯韦分布律在速率区间在速率区间vv+dv中的分子数为中的分子数为dvdxdydzve)kTm(endNkTEkTEkp223042 0pEkTdNnn edxdydzdv)v(fNddN 等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。dvdxdydzve)kTm(nkTE223042 2121dNdN,EE 则则如果如果从统计的意义上看：从统计的意义上看：T一定时，气体分子的平均动一定时，气体分子的平均动能也一定的，气体分子将优先占据势能较低的状态。能也一定的，气体分子将优先占据势能较低的状态。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n 重力场中大气密度重力场中大气密度mgndhppdhhhkTEkTmghpepepp表示在重力场中气体分子数密度按高度的分布表示在重力场中气体分子数密度按高度的分布,称为玻称为玻耳兹曼密度分布率。耳兹曼密度分布率。n 压强随高度分布压强随高度分布上式表明上式表明:地球表面附近的大气压强随高度按指数减小地球表面附近的大气压强随高度按指数减小,减小的快慢与气体分子本身的质量和气体的温度有关。减小的快慢与气体分子本身的质量和气体的温度有关。mgndhppdpdhhn得kTdnnkTddp)(nmgdhkTdn kTEkTmghpnenn上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系mgzpkTmgznne0nkTP T=CkTmgzkTne0kTmgzPe0重力场：重力场：气压公式气压公式上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例8稳定大气温度稳定大气温度T，以地面为重力势能零点以地面为重力势能零点，试证大气层分子试证大气层分子kTE p解：解：kTmgznne00000pddddeSzenSzmgznEkTmgzkTmgzkT以地面为以地面为z 轴轴零点，向上为正零点，向上为正在在z 处取截面积为处取截面积为dS 高为高为dz 的小体积的小体积上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系事实证明分子原子在这些能级事实证明分子原子在这些能级上的分布一般也遵守上的分布一般也遵守玻耳兹曼玻耳兹曼定律定律玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子量子理论表明：原子、分子量子理论表明：原子、分子的转动、振动能量只能取一的转动、振动能量只能取一系列不连续的值，称为系列不连续的值，称为能级能级E0E3E2E1kTEiiN e上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例 系统粒子数系统粒子数N，平衡态，平衡态温度温度T，能级，能级2 , 0求粒子数分布、平均能量求粒子数分布、平均能量kTEiiCNe解：解：CN 0kTCNe1kTCN22eNCkTkT2ee1kTkTNC2ee1上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系NNNN20210kTkTkTkT2ee1)e21 (e kTkTNC2ee1上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例 系统有系统有4000个粒子，能级个粒子，能级0，E，2E，初始初始，三能级三能级 粒子数分别为粒子数分别为2000，1700，300，问是否是平衡态？平衡问是否是平衡态？平衡态下应如何分布态下应如何分布?kTEiiCNe解：解：CN 0kTECNe1kTECN22e4000ee12kTEkTECEECECkTEkTE23002ee2平衡态分布平衡态分布上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系5034. 0ekTE55711462277310NNN解得：解得：END上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例8-14 用麦克斯韦速度分布计算每秒碰到器壁单位用麦克斯韦速度分布计算每秒碰到器壁单位面积上的分子数。面积上的分子数。解：解：单位体积内速度单位体积内速度x分量在分量在xxxvvvd的分子数：的分子数：xxvvnfd)(单位时间能碰到器壁单位面积上的分子数单位时间能碰到器壁单位面积上的分子数xxxvvvnfd)(0d)(xxxvvvnfxxkTvvvkTnx0221de)2(2212kTnvn41xvxv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系（1）粗糙模型：所有分子以平均速率运动）粗糙模型：所有分子以平均速率运动vn61（2）处理气体从容器孔逸出，可直接用结果）处理气体从容器孔逸出，可直接用结果（3）由麦克斯韦速度分布函数推导理想气体压强公式）由麦克斯韦速度分布函数推导理想气体压强公式xxvvnfd)(xxxvvvnfd)(xxxxvvvvnf2d)(02d)(2xxxvvfvnPxxxvvfvnd)(22xvn231vn讨论讨论按玻尔兹曼分布，动能小，几率大，为什么不是按玻尔兹曼分布，动能小，几率大，为什么不是 最大，而是最大，而是 最大？最大？ 0f Pvf问题问题xvxv上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系n自由度自由度n能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理n理想气体的内能理想气体的内能n理想气体的热容量理想气体的热容量本节提要本节提要6.5能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系自由度自由度决定一个物体空间位置所需要的独立坐标的数目，决定一个物体空间位置所需要的独立坐标的数目，称为该物体的自由度数。例如：称为该物体的自由度数。例如：一个质点在空间运动：三个自由度。一个质点在空间运动：三个自由度。一个质点在平面内运动：两个自由度。一个质点在平面内运动：两个自由度。一个质点沿一直线或圆周运动：一个自由度。一个质点沿一直线或圆周运动：一个自由度。刚体运动刚体运动=质心平动质心平动+绕质心轴转动。绕质心轴转动。质心有三个独立坐标，转轴有两个独立坐标，转角有一个。质心有三个独立坐标，转轴有两个独立坐标，转角有一个。独立坐标，共六个自由度。独立坐标，共六个自由度。刚体绕定轴转动：一个自由度。刚体绕定轴转动：一个自由度。上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系单原子分子：单原子分子：一个原子构成一个分子一个原子构成一个分子三原子分子：三原子分子：三个原子构成一个分子三个原子构成一个分子双原子分子：双原子分子：两个原子构成一个分子两个原子构成一个分子三三个自由度个自由度氢、氧、氮等氢、氧、氮等五五个自由度个自由度氦、氩等氦、氩等水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等六六个自由度个自由度上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系能量均分定理能量均分定理kTvmx21212kTvmy21212kTvmz21212理想气体分子的平均平移动能：理想气体分子的平均平移动能：kTvm23212222231vvvvzyx对于处于温度的平衡态下的系统，其分子在每个自由度对于处于温度的平衡态下的系统，其分子在每个自由度上都具有相同的平均平动动能。上都具有相同的平均平动动能。(分子运动的无序性分子运动的无序性)推广：不仅适用于分子的平动，也适用于转动与振动；推广：不仅适用于分子的平动，也适用于转动与振动；不仅适用于气体，也适用于较高温度的液体与固体不仅适用于气体，也适用于较高温度的液体与固体单原子分子单原子分子上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理kTsrtk)(21 上述结论可推广：若分子具有上述结论可推广：若分子具有s个振动自由度，个振动自由度，t个平动自由度，个平动自由度，r个转动自由度个转动自由度kTsrt)2(21 pk 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系三、三、 理想气体内能理想气体内能pmpakEEEE分子动能分子动能原子间振动势能原子间振动势能分子间势能分子间势能理想气体理想气体分子平均总能量分子平均总能量：kTikTrt221)(1mol气体：气体：RTikTiNE2)2(A上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例例指出下列各式的物理意义指出下列各式的物理意义kT21kT23RTi2kTMm23(1)(2)(3)(4)一个分子在一个自由度上的平均动能一个分子在一个自由度上的平均动能一个分子的平均平动动能一个分子的平均平动动能自由度为自由度为 i 的一摩尔刚性分子的内能的一摩尔刚性分子的内能无意义无意义上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系摩尔热容量：摩尔热容量：1mol物质升高所需热量。物质升高所需热量。c1RCv23 dtdQC 定义热容量：定义热容量：n 理想气体的热容量理想气体的热容量单原子分子单原子分子:定容摩尔热容量定容摩尔热容量:双原子分子双原子分子:dTdUCv （常温）高温RCRCvv25)(27 上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系例：绝热容器被绝热板隔成例：绝热容器被绝热板隔成A，B两部分，两两部分，两部分体积、压强相等，均为部分体积、压强相等，均为(P0,V0)，A内储存内储存 1 mol 单原子理想气体，单原子理想气体，B内储存内储存 2 mol 双原双原子理想气体，试求子理想气体，试求: (1) 内能内能EA，EB；(2)抽出抽出绝热板，两种气体混合后平衡时的温度。绝热板，两种气体混合后平衡时的温度。nRTPV nRTikTinNE2)2(A(1)(2)两种气体与外界无能量交换两种气体与外界无能量交换, 气体间有能量交换气体间有能量交换平衡时的温度为平衡时的温度为T)(AvAATTnCE)(BvBTTBnCE0BAEEET上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海交通大学上海交通大学 物理系物理系RTMmmvi2321 3 2kTv2321222vv RTMmmvi2521 5 2kTv232122253vv 例例 容器内贮有质量为容器内贮有质量为m 摩尔质量为摩尔质量为M 的理想气体，的理想气体，设容器以速度设容器以速度v 作定向运动，今使容器突然停止，问：作定向运动，今使容器突然停止，问：(1)定向运动机械能转化为什么形式的能量？定向运动机械能转化为什么形式的能量？(2)分子速度平方的平均值增加多少？分子速度平方的平均值增加多少？(单原子、双原子）单原子、双原子）解：解：(1) 定向运动机械能转化无规则热运动动能定向运动机械能转化无规则热运动动能(2) (a)(b)上海交通大学上海交通大学 物理系物理系上海