解析几何专题复习最后一卷

解析几何专题复习最后一卷时间：120分钟分值：150分第I卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. 直线x =-2的倾斜角为()A. 0B. 180C. 90D .不存在解析：T X = 2的斜率不存在，a= 90.答案：C2. 若直线 1仁ax + 2y 1 = 0与 12：3x ay+ 1 = 0垂直，则 a=()A . 1B . 1C. 0D. 2解析：由 3a 2a= 0， a = 0. 答案：C3. 已知点A(1, 2), B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x + 2y2= 0,则实数m的值是()A . 2B . 7C. 3D. 1解析：由已知条件可知线段 AB的中点(+严，0)在直线x + 2y 2=0上，代入直线方程解得 m = 3.答案：C 当a为任意实数时，直线(a 1)x y+a+1 = 0恒过定点C,则以C为圆心，半径为.5的圆的方程为()A. x2+ y2 2x + 4y= 0B . x2+ y2 + 2x + 4y= 0C . x2+y2+ 2x 4y= 0D . x2 + y2 2x 4y = 0解析：将方程分离参数a可得a(x+ 1) (x + y 1)= 0,方程表示x+ 1 = 0过两直线的交点，即(1,2)，故圆的方程为(x+ 1)2 + (yx+ y 1 = 02)2 = 5，即卩 x2 + y2+ 2x 4y= 0.答案：C5. 经过圆x2 + 2x + y2 4= 0的圆心C,且与直线x + y= 0垂直 的直线方程是()A. x y+ 1= 0 B. x y 1 = 0C. x+y1= 0 D. x + y+1 = 0解析：易知点C为(1,0),而待求直线与x + y= 0垂直，故设待 求直线的方程为y= x+ b,将点C代入即可得：b= 1,故待求直线的 方程为x y+ 1= 0.答案：A图16. 如图1所示，F为双曲线C: 治=1的左焦点，双曲线C上的点 Pi 与 P7 i(i = 1,2,3)关于 y 轴对称，则|P1F|+ |P2F| + |P3F| |P4F| |P5F|P6F|的值为()A . 9 B. 16C. 18 D. 27解析：本题是双曲线的计算问题，联想定义可解.设双曲线的右 焦点为 F ，由题意可得 P7-iF(i = 1,2,3)= PiF (i = 1,2,3), |P1F| + |P2F| + |P3F| IP4FI IP5FI |P6F|= IP1FI + |P2F| + |P3F| |P3F | |P2F | IP1F |= 2X 3X 3= 18.答案：Cx2 y2、7. 若双曲线孑一= 1(a0, b0)的一个焦点到一条渐近线的距1解析:离等于焦距的1，则该双曲线的离心率是()取焦点(c,0)，渐近线bx+ ay= 0,整理得 4b2 = a2+ b2, 3c2=4a2,解得 e=答案：D8对于抛物线/= 4x上任意一点Q,点P(a,O)都满足|PQ| |a|, 则a的取值范围是()A . ( x, 0) B. ( x, 2C. 0,2D. (0,2)解析：设点Q的坐标为(弓,y。), 由 |PQ| |a|,得 y0+(y。一 a)2a2.整理得：y2(y0 + 16 8a) 0, -y00,. y0 + 16 8a0.即a 2+卷恒成立,而2 + y0的最小值为2,二a |AN1|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号. P点的横坐 标与A点的横坐标相同即为1,则可排除A、C、D项，故选B.答案：B10. “ mn0”是“方程 mx2 + ny2= 1表示焦点在y轴上的椭 圆”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件x2 y解析：mx2 + ny2= 1 可化为 了 + yp = 1.m n1 1因为mno,所以om0, b0)的左焦点，点E是 该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两 点，若 ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e的取值范围是 ()A.(1,+乂 ) B.(1,2)_C. (1,1 + 2) D. (2,1 + 2)解析：要使 ABE为锐角三角形，只需/ AEB为锐角，由双曲 线对称性知 ABE为等腰三角形，从而只需满足/ AEFV45.又当x =c 时，y= ?，二tan / AEF = a ： c 1，二e2 e 21,.1e2.答案：B第H卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13. 以点(1,0)为圆心，且过点(一3,0)的圆的标准方程为 , 解析：由已知条件知圆的半径r = 4, 圆的标准方程为(x -1)2+ y2= 16.答案：(x- 1)2 + y2= 1614. 椭圆ax2 + by2= 1与直线y= 1-x交于A、B两点，对原点 与线段ab中点的直线的斜率为乎，则a的值为.解析：设直线与椭圆交于 A、B两点坐标分别为 区,y2= o,则 |P1 + pF2|= 2|PO|= |F1F2|= 2.1o. 答案：2 1o16. 已知F1( c,o), F2(c,o)(co)是两个定点，O为坐标原点， 圆M的方程是(x 5c)2+ y2=，若P是圆M上的任意一点，那么 性冲的值是lPF2l5gc2解析：设P(x, y)是圆(x 疋)2+=石上的任意一点，|PF1|/ x+ c2 + y2|PF2= x c2 + y29ca+12 + 2 a+1 + 11x-= 2 x (a + x 2 a+ 1 x a+十 2 = 2,当且仅当 a+ 1 = a+ 1 2(舍去)时等号成立.此时直线I的方程为x + y2= 0. 18. 已知圆 C: x2+ (y a)2= 4,点 A(1,0).(1) 当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；_25cx25c22小 216 x2 + 2 16 + x2 + 2cx + c29 c225cx25c22厂(2) 设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当|MN|= 5- 时，求MN所在直线的方程.解：,16 x + 2 16 + x 2cx + c故 IPF1J= 3故 |PF2| 3.答案：3二、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. 设直线 I 的方程为(a+ 1)x + y 2 a= 0(a R).(1) 若直线I在两坐标轴上的截距相等，求直线I的方程；若a 1,直线I与x、y轴分别交于M、N两点，求 OMN 面积取最大值时，直线I对应的方程.解：(1)显然az 1,当直线I经过坐标原点时，该直线在两坐 标轴上的截距都为0,此时2+ a= 0,解得a= 2,此时直线I的方 程为一x+ y= 0,艮卩 x y = 0;当直线I不经过坐标原点，即az 2时，由直线在两坐标轴上2 + a的截距相等可得-+= 2+ a,解得a= 0,此时直线I的方程为x+ y a+ 12=0.所以，直线I的方程为x y= 0或x + y 2=0.2 + aa+ 1 + 12a+11a+11212(2) 由直线方程可求得 M(a+1, 0)、N(0,2 + a)，又因为a 1,12 + a1)a+ 11+ 2 = 2,当且仅当a+ 1故Sx OMN = 2 x a+1 x (2 + a)=图3(1) 过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上, 1 + a24,a：3或 aW 3.(2) 如图3,设MN与AC交于点D.- |MN| =护DM匸罕又|MC| = 2,二 |CD|4cos/ MCA|OC| = 2, |AM| = 1, MN是以A为圆心，半径 AM = 1的圆A 与圆C的公共弦，圆A的方程为(x 1)2+ y2= 1,圆C的方程为x2 + (y 2尸=4 或 x2+ (y+ 2)2= 4, MN 所在直线方程为(x 1)2 + y2 1 x2 (y2)2 + 4= 0,即卩 x 2y= 0或(x 1)2 + y2 1 x2 (y+ 2)2 + 4= 0,即卩 x + 2y= 0,因此，MN所在的直线方程为x 2y= 0或x + 2y= 0.图419. 如图4,设椭圆字+器=1(ab0)的右顶点与上顶点分别为 A、 B，以A为圆心、OA为半径的圆与以B为圆心、OB为半径的圆相 交于点0、P.(1)若点P在直线y=x上，求椭圆的离心率；在(1)的条件下，设M是椭圆上的一动点，且点N(0,1)到M点 的距离的最小值为3,求椭圆的方程.解：(1)因为0P是圆A、圆B的公共弦，所以0P丄AB，即kAB koP =1，又易得kop二中，所以kAB =；，又kAB =琴，所以b2 =3 a2，而 a2 c2 = b2，二 e=|= a 23 y2 4x2(2)由(1)知b2= 4a2,所以所求椭圆的方程为 拿+ 3= 1,设M(x, y),3313则 |MN |2 = x2 + (y 1)2 = 4a2 4y2 + y2 2y + 1 = &(y 4)2 3 + 4 a2，其中一a y a.(i )当0a4时，则当y= 4时，|MN |2有最小值4a2 3,由4a2 3 =9得a= 1(舍去负值).综上所述，a = 4时，所求椭圆的方程为16+12= 1.20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A( 1,0)、B(1,0),动点 C满足条件： ABC的周长为2 + 2 2记动点C的轨迹为曲线 W.(1) 求W的方程；(2) 经过点(0,2)且斜率为k的直线I与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围；(3) 已知点M( 2, 0), N(0,1),在(2)的条件下，是否存在常数k, 使得向量OP+OQ与mN共线？如果存在，求出k的值，如果不存在， 说明理由._解：(1)设 C(x,y), v |AC| + |BC| + |AB| = 2+ 2 2, |AB|= 2, /. |AC| + |BC| = 2 22,由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2 2的 椭圆除去与x轴的两个交点.a= 2, c= 1 ,二 b2 = a2 c2= 1.x2二 W: - + y2 = 1(yz 0).直线l的方程为y= kx +2,代入椭圆方程，x2_得 + (kx + 2)2= 1.1整理，得(+ k2)x2 + 2 2kx + 1= 0 因为直线I与椭圆有两个不同的交点 P和Q等价于1= 8k2 4(2 + k2) = 4k2- 20, 解得k *或k#.满足条件的k的取值范围为k ( X,-彳)U 谱+).(3) 设 P(xi, yi), Q(X2, y2),则OP+ OQ= (xi + x2, yi + y2),由4 2k得 Xl + X2= 1 + 2k2又 yi + y2= k(xi + X2)+ 2 2因为 M( 2, 0), N(0,1),所以 MN = ( 2, 1).所以OP+OQ与MN共线等价于X1 + X2= . 2(y1 + y2).将代入上式，解得k=，而?(=,启ucf，+=), 所以不存在常数k,使得向量OP+OQ与mN共线.21. 已知圆M的方程为：x2 + y2 2x 2y 6 = 0,以坐标原点为 圆心的圆N与圆M相切.(1) 求圆N的方程；(2) 圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、 |DF|成等比数列，求DE DF的取值范围.解：圆M的方程可整理得：(x 1)2 + (y 1)2= 8,故圆心M(1,1), 半径R = 2 2.(1) 圆N的圆心为(0,0),因为|MN|= 22 .2,所以点N在圆M内，故圆N只能内切于圆M.设其半径为r._因为圆N内切于圆M，所以有：|MN| = R r，即2= 2 2 r, 解得r = 2.所以圆N的方程为x2 + y2= 2._(2) 由题意可知：E( 2, 0), F( 2, 0).设 D(x, y),由 |DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2= |DE|X |DF|,即：x + 2 2+ y2x”. x v 2 2 + y2= x2 + y2,整理得：x当m= 0时，直线l恒过原点；当m= 2k时，直线l恒过点(2,0), 但不符合题意.所以直线l恒过原点. y2= 1.而DE = ( 2 x, y), DF = ( 2 x，y), DE dF = ( 2 x)( 2 x) + ( y)( y) = x2 + y2 2 = 2y2 1,，一 ,x2 + y22,i由于点D在圆N内，故有 22彳，由此得y2o，x2 y2 = 12所以DE dF 1,0).22. 已知平面上的动点 P(x, y)及两定点A( 2,0), B(2,0),直线1PA、PB的斜率分别为k1, k2,且k1 k2= 4.(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 已知直线I :y= kx + m与曲线C交于M ,N两点，且直线BM、1BN的斜率都存在，并满足kBM kBN = 4,求证：直线I过原点.工 2),即卩 x2+4= 0.解：(1)由题意得七七=-x+ 2 x 2 x2y= kx + m4+y2=* 1所以点P的轨迹C的方程为+y2= 1(xm2).(2)设 M(X1, y1), N(X2, y2)，联立方程得(4k2 + 1)x2 + 8kmx + 4m2 4= 0.8km4m2 4所以 x1+ x2 = 4疋+ 1, x1x2 =所以 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2X1X2 + km(X1 + X2)+ m2 = m2 4k24k2 + 1 .1y1y21又 kBM kBN = 4 即X1 2 X2 2= 4,即 X1X2 2(X1+ X2) + 4+ 4y1y2= 0.代入并整理得 m(m + 2k) = 0, 即卩m = 0或m= 2k.