盈亏问题 奥数

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盈亏问题(一)专题简析:在日常生活中常有这样的问题:一定数量的物品分给一定数量的人,每人多一些,物品就不够;每人少一些,物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。盈亏问题的数量关系是:(1)(盈亏)两次分配差=份数 (大盈小盈)两次分配差=份数 (大亏小亏)两次分配差=份数(2)每次分得的数量份数盈=总数量 每次分得的数量份数亏=总数量例1:一个植树小组植树。如果每人栽5棵,还剩14棵;如果每人栽7棵,就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树?解析:由题意可知,植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案,结果相差144=18棵,即第一种方案的结果比第二种多18棵。这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差75=2棵。所以植树小组有182=9人,一共有5914=59棵树。巩固练习1:幼儿园把一些积木分给小朋友,如果每人分2个,则剩下20个;如果每人分3个,则差40个。幼儿园有多少个小朋友?一共有多少个积木?例2:学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支,则缺45支;如果每人奖7支,则缺7支。三好学生有多少人?铅笔有多少支?解析:这是两亏的问题。由题意可知:三好学生人数和铅笔支数是不变的。比较两种分配方案,结果相差457=38支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差97=2支。所以,三好学生有382=19人,铅笔有91945=126支。巩固练习2:将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵,则缺少15朵;如果每瓶改为插6朵,则缺少1朵。求花瓶的只数和月季花的朵数。例3:有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵,还有24棵没种;如果每人种19棵,还有6棵没有种。问有多少名少先队员?有多少棵树?解析:这是两盈的问题。由题意可知:少先队员的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案,结果相差246=18棵,这是因为两种分配方案每人种的树相差1916=3棵。所以,少先队员有183=6名,树有16624=120棵。巩固练习3:小虎在敌人窗外听里边在分子弹:一人说每人背45发还多260发;另一人说每人背50发还多200发。有多少敌人?多少发子弹?例4:学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人,则34人没有位置;如果每个房间住14人,则空出4个房间。求学生宿舍有多少间?住宿学生有多少人?解析:把“每间住14人,则空出4个房间”转化为“每间住14人,则少144=56人”。比较两种分配方案,结果相差3456=90人,而每个房间相差1412=2人。所房间数为902=45间,学生人数为124534=574人。巩固练习4:某校有若干个学生寄宿宿舍,若每一间宿舍住6人,则多出34人;若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍。问宿舍有多少间?寄宿学生有多少人?例5:少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个坑没人挖;如果其中2人各挖4个,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑?解析:如果每人都挖6个树坑,那么少(64)2=4个树坑,两次相差43=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差65=1个树坑。所以,少先队员一共有71=7人,一共挖573=38个树坑。巩固练习5:老师给幼儿园的小朋友分苹果。如果每个小朋友分2个,还多30个;如果其中的12个小朋友每人分3个,剩下的每人分4个,则正好分完。一共有多少个苹果?盈亏问题(二)一、知识要点盈亏问题又叫盈不足问题,是指把一定数量的物品平均分给固定的对象,如果按某种标准分,则分配后会有剩余(盈);按另一种标准分,分配后又会有不足(亏),求物品的数量和分配对象的数量。例如:把一代饼干分给小班的小朋友,每人分3块,多12块;如果每人分4块,少8块。小朋友有多少人?饼干有多少块?这种一盈一亏的情况,就是我们通常说的标准的盈亏问题。盈亏问题的基本数量关系是:(盈亏)两次所分之差=人数;还有一些非标准的盈亏问题,它们被分为四类:1.两盈:两次分配都有多余;2.两不足:两次分配都不够;3.盈适足:一次分配有余,一次分配够分;4,不足适足:一次分配不够,一次分配正好。一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住:1.“两亏”问题的数量关系是:两次亏数的差两次分得的差=参与分配对象总数;2.“两盈”问题的数量关系是:两次盈数的差两次分得的差=参与分配对象总数;3.“一盈一亏”问题的数量关系是:盈与亏的和两次分得的差=参与分配对象总数。二、精讲精练【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生,如果少一名女生,增加一名男生,则男生为总数的一半;如果少一名男生,增加一名女生,则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生?【思路导航】(1)由“少一个女生,增加一个男生,则男生为总人数的一半”可知:女生比男生多2人;(2)“少一个男生,增加一个女生”后,女生就比男生多22=4人,这时男生为女生人数的一半,即现在女生有42=8人。原来女生有81=7人,男生有72=5人,共有75=12人。巩固练习1:学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒,如果白粉笔减少10盒,彩色粉笔增加8盒,两种粉笔就同样多;如果再买10盒白粉笔,白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。学校买来两种粉笔各多少盒?【例题2】 幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友,则少4个;如果每个小朋友只发给4个,则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友?共有多少个苹果?【思路导航】如果平均分给小朋友,则少4个,说明小朋友人数大于4;如果每个小朋友只发给4个,则教师也能留下4个,说明每人少拿若干个,就少拿44=8个苹果。因为小朋友人数大于4,所以,一定是每人少拿1个,有81=8个小朋友,有844=36个苹果。巩固练习2:给小朋友分梨,如果每人分4个,则多9个;如果每人分5个,则少6个。有多少个小朋友?有多少个梨?【例题3】 幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个;如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人,这筐苹果有多少个?【思路导航】如果大班减少3人,则大班和小班的人数同样多。这样,大班每人5个就多余3510=25个。由于两班人数相等,小班每人多分3个就要多分(252)个苹果,用(252)(85)就能得到小班同学的人数是9人,再用982就求出了这筐苹果有多少个。巩固练习3:一些学生搬一批砖,每人搬4块,其中5人要搬两次;如果每人搬5块,就有两人没有砖可搬。这些学生有多少人?这批砖有多少块?【例题4】 幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块;如果只分给中班的小朋友,平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友,平均每人分得多少块?【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块,如果只分给中班的小朋友,平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的64=1.5倍。因此,这箱饼干分给小班的小朋友,每位小朋友可多分到61.5=9块,一共可分到69=15块饼干。巩固练习4:老师把一批书借给甲组同学,平均每人借4本。如果只借给甲组的女同学,每人可借6本。如果只借给甲组的男生,平均每人借到几本?【例题5】 全班同学去划船,如果减少一条船,每条船正好坐9个同学;如果增加一条船,每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学?【思路导航】根据题意可知:每船坐9人,就能减少一条船,也就是少9个同学;每船坐6人,就要增加一条船,也就是多出6个同学。因此,每船坐9人比每船坐6人可多坐96=15人,15里面包含5个(96),说明有5条船。知道了有5条船,就可以求全班人数:9(51)=36人。巩固练习5:老师把一篮苹果分给小班的同学,如果减少一个同学,每个同学正好分得5个;如果增加一个同学,正好每人分得4个。这篮苹果一共有多少个? 盈亏问题(一) 作业题1、 某校安排宿舍,如果每间6人,则16人没有床位;如果每间8人,则多出10个床位。问宿舍多少间?学生多少人?2、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人;如果减少一条船,正好每条船坐9人。问:这个班共有多少学生?3、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张,则少32张;如果每人发3张,则少2张。美术兴趣小组有多少名同学?王老师一共有多少张图画纸?4、老师将一些练习本发给班上的学生。如果每人发10本,则有两个学生没分到;如果每人发8本,则正好发完。有多少个学生?多少本练习本?5、杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分7本,还多7本;如果每人分8本则正好分完。请算一算,第一小组有几个学生?这叠练习本一共有多少本?6、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支;如果每人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完?7、育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人,则有15人不能乘车;如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车?有多少学生?8、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人,则少2间宿舍;如果每个房间住9人,则空出2个房间。问学生宿舍有多少间?住宿学生有多少人?9、在一次大扫除中,老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块,其余每人擦5块,则余22块;如果每人擦7块,则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。10、小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分4只,其余每人分2只,则多出4只;如果其中一人分6只,其余每人分4只,则又缺12只。小红家买来多少只橘子?小红家一共有多少人?盈亏问题(二) 作业题1、操场上有两堆货物,如果甲堆增加80吨,乙堆增加25吨,则两堆货物一样重;苦甲、乙两堆各运走5吨,剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。两堆货物一共有多少吨?2、五(1)班的优秀学生中,苦增加2名男生,减少1名女生,则男、女生人数同样多;苦减少1名男生,增加1名女生,则男生是女生的一半。这些优秀学生中男、女生各多少人?3、老把一些铅笔奖给三好学生。每人5支则多4支,每人7支则少4支。老师有多少支铅笔?奖给多少个三好学生?4、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人;如果减少一条船,正好每条船上坐9人。这个班一共有多少个同学?5、老师给幼儿园小朋友分糖,每人3块还多10块;如果减少2个小朋友再分,每人4块还多7块。原来有多少个小朋友?有多少块糖?6、筑路队计划每天筑路720米,正好按期筑完。实际每天多筑80米,这样,比原计划提前3天完成了筑路任务。要筑的路有多长?7、甲、乙两组同学做红花,每人做8朵,正好送给五年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲组同学单独做,每人要多做4朵。如果把这些红花让乙组同学单独做,每人要做几朵?8、老师把一袋糖分给小朋友。如果只分给小班,每人可得12块;如果只分给中班和小班,每人只能分到4块。如果这袋糖只分给中班,每人可分到几块?9、五年级同学去划船,如果增加一只船,正好每只船上坐7人;如果减少一只船,正好每只船上价8人。五年级共有多少人?10、一个旅游团去旅馆住宿,6人一间,多2个房间;若4人一间又少2个房间。旅游团共有多少人?
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