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函数的概念及表示法（习题课）【评析评析】函数的图象是函数的直观描述，结合学过的基本初函数的图象是函数的直观描述，结合学过的基本初等函数，可作出一般的函数图象等函数，可作出一般的函数图象.【分析分析】函数图象表示的是表示函数图象表示的是表示 函数关系的两个变量之间的关系，函数关系的两个变量之间的关系， 故可由函数定义判定故可由函数定义判定.1.函数函数f(x)=x+ 的图象是（的图象是（ ）xx【解析解析】f(x)=x+ = ，结合图象知选，结合图象知选C.xx0101xxxxC返回返回 考点一考点一 图象法图象法 返回返回 作出下列函数的图象作出下列函数的图象.(1)y=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0 x3).(1)这个函数的图象由一些这个函数的图象由一些点组成点组成,这些点都在直线这些点都在直线y=1-x上上(xZ,从而从而yZ),这些点称为整点这些点称为整点(如如图甲图甲).(2)0 x3,这个函数的这个函数的图象是抛物线图象是抛物线y=2x2-4x-3介于介于0 x3之间的一段曲之间的一段曲线线(如图乙如图乙).考点二考点二 求函数解析式求函数解析式（1）如果）如果 ，则，则f(x)= ;（2）如果）如果 ,则则f(x+1)= ;（3）如果）如果ff(x)=2x-1，则一次函数，则一次函数f(x)= ;（4）如果函数）如果函数f(x)满足方程满足方程af(x)+ =ax,xR,且且x0,a为常数，且为常数，且a1,则则f(x)= .21)1(xxxf2)1()1(xxxxf)1(xf【分析分析】求求f(x)的关键就在于弄清相对于的关键就在于弄清相对于“x”而言，而言，“f”是一种怎样的对应关系是一种怎样的对应关系.返回返回 【解析解析】（1） .（2） f(x)=x2+4, f(x+1)=(x+1)2+4.（3）f(x)为一次函数，设为一次函数，设f(x)=kx+b(k0),ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=2x-1.比较系数得比较系数得 或或 .1)1(11)1(22xxxxxf1)(2xxxf4)1(4)12(12)1()1(222222xxxxxxxxxxf122212122bkbkbkbk或212)(xxf212)(xxf返回返回 （4） ,用用 替换上式中的替换上式中的x得得 由由 可得可得axxfxaf)1()(xaxfxaf)()1(xaxfxafaxxfxaf)()1()1()()1()1()1()(22axaaxaxfx1【评析评析】求求f(x)解析式的方法比较多，如上述例子中就分别用了换解析式的方法比较多，如上述例子中就分别用了换元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法，其他方法请试用元法、配方法、待定系数法、解方程组的方法，其他方法请试用.换元法求换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取是常用的方法，但要特别注意正确确定中间变量的取值范围，否则就不能正确确定值范围，否则就不能正确确定f(x)的定义域的定义域.（4）题的解法基于这样一种认识：函数是定义域到值域上的映射，）题的解法基于这样一种认识：函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式定义域中的每一个元素都应满足函数表达式.在已知条件下，在已知条件下，x满满足已知的式子，那么足已知的式子，那么 在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个在定义域内也满足这个式子，这样就得到两个关于关于f(x)与与 的方程，因而能解出的方程，因而能解出f(x).x1)1(xf返回返回 （1）已知）已知f( )=x+2 ,求求f(x)；（2）已知）已知 求求f(x);（3）已知函数）已知函数f(x)满足满足 ，求，求f(x)的表达式的表达式.1xxxxxxxf11)1(222)1()(3xxfxf（1）解法一：）解法一： 解法二：令解法二：令t= +1,则则x=(t-1)2(t1)，代入原式有，代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, f(x)=x2-1(x1).1)1(xxf(x)1,1x11)x(1)xf(11)x(11x2)x(x2x2222x返回返回 解法二：解法二：设设x+ =t，则，则t1且且x= ,f(t)=1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1(t1).f(x)=x2-x+1(x1).（3） , 代替代替x得得 -f(x)= ,联立两式消去联立两式消去 得得1x1x)x1x(x1)x1x(x1x2x)x1x(x1x1x)x1xf(2222221)1(xxxf(x)1x1x2x111t2)1()(3xxfxfx1)1(3xf21x)1(xf)0)(13(21)(22xxxxf（2）解法一：）解法一：返回返回 考点三考点三 由函数图象求函数解析式由函数图象求函数解析式已知函数已知函数f(x)在在-1,2上的图象如图所示，求上的图象如图所示，求f(x)的解析式的解析式.【分析分析】由图象特点先确定函数类型，再求解析式由图象特点先确定函数类型，再求解析式.【评析评析】熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决熟练掌握学过的函数图象，有利于这类问题的解决.【解析解析】当当-1x0时，设时，设y=ax+b,过点过点(-1,0)和和(0,1),同样，当同样，当0b时时,f(x)-1（舍去），（舍去），当当-1a2时，时，2a=3,a= (-1,2),当当a2时，时， a2=3,a= 2,综上知综上知,当当f(a)=3时，时，a= 或或a= .（3）f(x)的定义域为的定义域为(-,-1(-1,2)2,+)=R.当当x-1时时,f(x)(-,1;当当-1x2时时,f(x)(-2,4);当当x2时，时，f(x)2,+).(-,1(-2,4)2,+)=R,f(x)的值域为的值域为R.1)21()47(21412)41()47(41247)47(ffffffff23216236返回返回 考点六考点六 分段函数的解析式求解分段函数的解析式求解如图所示，等腰梯形如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为的两底分别为AD=2,BC=1,BAD=45,直线直线MNAD交交AD于于M,交折线交折线ABCD于于N,记记AM=x，试将梯形，试将梯形ABCD位于直线位于直线MN左侧的左侧的面积面积y表示为表示为x的函数的函数,并写出函数的定义域和值域并写出函数的定义域和值域.【分析分析】求函数解析式是解决其他问题的关键求函数解析式是解决其他问题的关键,根据题意根据题意,此此题应对题应对N分别在分别在AB，BC，CD三段上分三种情况写出函数三段上分三种情况写出函数的解析式的解析式.返回返回 【解析解析】过过B，C分别作分别作AD的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为H和和G， 则则AH= ，AG= ，当当M位于位于H左侧时，左侧时，AM=x，MN=x.y=SAMN= x2 0 x .当当M位于位于H，G之间时之间时, y= AHHB+HMMN = （x- ） = x- x .21232121212123当当M位于位于G，D之间时之间时,y=S梯形梯形ABCD-SMDN= (2+1)-(2-x)(2-x)= - x2+2x- x2.232121212121218121212145返回返回 【评析评析】分段函数的定义域是各部分分段函数的定义域是各部分x的取值范围的并集的取值范围的并集,值值 域也是域也是y在各部分值的取值范围的并集在各部分值的取值范围的并集,因此因此,函数的解析式、函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出最后综合求出.所求函数的关系式为所求函数的关系式为函数的定义域为函数的定义域为0,2,值域为值域为0, 2x23452xx2123x2181x2121x0 x21y2243返回返回 考点七考点七 求具体函数的定义域求具体函数的定义域【分析分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组可考虑列不等式或不等式组.求函数的定义域：求函数的定义域： 【解析解析】 x0, x0， 0, 0 x17. 函数的定义域为函数的定义域为 x |0 x17 .7x1令x17,即返回返回 xxy712【评析评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程来获得来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数式有意义的集合函数式有意义的集合.（1）若）若f(x)为整式，则定义域为为整式，则定义域为R.（2）若）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合的集合.（3）若）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合的集合.返回返回 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:232x53x1(2)2;x41x(1)y(1)要使函数有意义要使函数有意义,必须必须 , 1x4.故函数的定义域为故函数的定义域为x|1x4.(2)要使函数有意义要使函数有意义,必须必须 .解得解得-5x5且且x3.故函数的定义域为故函数的定义域为x|-5x5且且x3.0 x40,1-x4x1x0 x53x2返回返回 考点八考点八 求抽象函数的定义域求抽象函数的定义域【分析分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域定义域 是是x的取值范围的取值范围.（1）已知函数）已知函数f(x)的定义域是的定义域是0,4，求函数，求函数f(x2)的定义域；的定义域；（2）已知函数）已知函数f(2x+1)的定义域是的定义域是-1,3，求函数，求函数f(x)的定义域的定义域;（3）已知函数）已知函数f(x2-2)的定义域是的定义域是1,+)，求函数，求函数 的定义域的定义域.)2(xf返回返回 【评析评析】（1）已知）已知f(x)的定义域，求的定义域，求fg(x)的定义域，一的定义域，一般设般设u=g(x)，则，则u的取值范围就是的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等的定义域，通过解不等式可求；式可求；（2）已知）已知fg(x)的定义域为的定义域为D，求，求f(x)的定义域，就是求的定义域，就是求g(x)在在D上的值域上的值域.【解析解析】（1）f(x)的定义域为的定义域为0,4, 0 x24, x-2,00,2. f(x2)的定义域为的定义域为-2,2.（2）f(2x+1)的定义域为的定义域为-1,3, -1x3，-12x+17. f(x)的定义域为的定义域为-1,7.（3）f(x2-2)的定义域为的定义域为1,+), x1,x2-2-1. x2-1,即即x-2. 的定义域为的定义域为-2,+).)2(xf返回返回 (1)f(x)的定义域为的定义域为1,4，使使f(x+2)有意义的条件是有意义的条件是1x+24，即，即-1x2. 故故f(x+2)的定义域为的定义域为-1，2.(2) 的定义域为的定义域为0,3, 1x+14, 1 2. f(x)的定义域为的定义域为1,2.)1xf(1x(1)若函数若函数f(x)的定义域为的定义域为1,4，求，求f(x+2)的定义域的定义域;(2)若若f 的定义域为的定义域为0,3，求，求f(x)的定义域的定义域.) 1x(返回返回 考点九考点九 求函数的值域求函数的值域【分析分析】根据各个式子不同的结构特点根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法选择不同的方法.求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=x2-4x+6,x1,5); (2)y= ;(3)y= ; (4)y= ;(5)y= .24x15x1x2x34xx2232xx74x2x221x2x【解析解析】(1)配方得配方得y=(x-2)2+2.x1,5),由图可知函数的值域为由图可知函数的值域为y|2y11.返回返回 45yRy(2)借助反比例函数的特征求解借助反比例函数的特征求解. 函数的值域为函数的值域为(3) 又又当当x=1时时,原式原式 .函数的值域为函数的值域为2)2(4x74524x4142)(4x4524x41012)(4x4524x15xy45y02)2(4x7211)2(2x72112x271)(2x2112x3x1)(x12x3x1)1)(2x(x3)1)(x(x1x2x34xxy2232y21yRy且3211231y返回返回 (5)函数关系式中有根式函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法去掉根号的常用方法就是换元法.令令x-1=t,则则t0,x=t2+1.y=2(t2+1)-t=2t2-t+2= .t0,y 函数函数y=2x-x-1的值域是的值域是 ,+).815)412(t2815815(4)该函数的分子、分母分别是关于该函数的分子、分母分别是关于x的二次式的二次式,因而可考虑转化为关于因而可考虑转化为关于x的的二次方程二次方程,然后利用判别式法求值域然后利用判别式法求值域.已知函数式可变形为已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7.即即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0,当当y2时时,将上式视为关于将上式视为关于x的一元二次方程的一元二次方程.xR,0, 即即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得，解得 y2.当当y=2时时,32+70, y2,函数的值域为函数的值域为 .,2)2929返回返回 【评析评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断要通过不断练习及时总结练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法根据不同的题目类型选择不同的方法.(1)与二次函数有关的函数与二次函数有关的函数,可用配方法可用配方法(注意定义域注意定义域);(2)形如形如y=ax+b 的形式的形式,可用换元法可用换元法.即设即设t= ,转化成二次函数，再求值域转化成二次函数，再求值域(注意注意t0);(3)形如形如y= 型的函数可借助反比例函数型的函数可借助反比例函数,求其值求其值域域,这种函数的值域为这种函数的值域为 ;(4)形如形如y= (a,m中至少有一个不为零中至少有一个不为零)的函数的函数求值域求值域,可用判别式法求值域可用判别式法求值域,但要注意以下三个问题但要注意以下三个问题:一是一是检验当二次项系数为零时检验当二次项系数为零时,方程是否有解方程是否有解,若无解或使函数无若无解或使函数无意义意义,都应从值域中去掉该值都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查二是闭区间的边界值也要考查达到该值的达到该值的x是否存在是否存在;三是分子分母必须无公因式三是分子分母必须无公因式.dcxdcx0)(cdcxbaxcayypnxmxcbxax22返回返回 求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=x2-2x,x0,3; (2)y=x+ ; (3)y=|x+1|+|x-2|.1-2x(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示如图所示,函数的值域为函数的值域为-1,3.返回返回 (3)解法一解法一:运用绝对值的几何意义运用绝对值的几何意义.|x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点的几何意义表示数轴上的动点x与与-1以及以及2的距离的距离的和的和,结合数轴结合数轴,易得易得|x+1|+|x-2|3,函数的值域为函数的值域为3,+).(2)(2)换元法换元法. .令令 =t,t0,则则x= ,函数化为函数化为t0,y ,函数函数y=x+ 的值域为的值域为 ,+).1-2x21t2221)(t2121tt21y21211-2x返回返回 解法二解法二:转化为函数图象转化为函数图象,运用数形结合法运用数形结合法.在函数在函数y=|x+1|+|x-2|中，由中，由|x+1|=0，|x-2|=0得得x=-1，2.把定义域分成三个区间：把定义域分成三个区间：(-,-1,(-1,2,(2,+). 该函数图象如图所示该函数图象如图所示.由图象由图象知函数的值域为知函数的值域为3,+).2x12x2x131x12xy返回返回 考点十考点十 函数定义域、值域的综合应用函数定义域、值域的综合应用 【分析分析】利用函数定义域为利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+80在在R上恒成立建立不等式上恒成立建立不等式或不等式组求或不等式组求m.【评析评析】二次函数定义域为二次函数定义域为R，二次不等式在，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解次函数与二次方程关系求解.函数函数y= 的定义域是的定义域是R,求实数求实数m的取值范围的取值范围.8m6mx-mx2【解析解析】(1)当当m=0时，时，y= ,定义域为定义域为R.(2)当当m0时时,由已知得由已知得00 =(a-1)2-4(a2-1) 0时时, 有有a21 a2-10a+90,1a9.综上所述综上所述,当当xR时时,a的取值范围为的取值范围为1,9.1a21a21a21a2返回返回 同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
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