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第二章第二章第十二节第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例问题举例题组一题组一导数与函数的单调性导数与函数的单调性1.(20091.(2009 广 东 高 考广 东 高 考 ) ) 函 数函 数f f( (x x) ) ( (x x 3)e3)ex x的 单 调 递 增 区 间 是的 单 调 递 增 区 间 是 说 明说 明( () )A A( (，2)2)B B(0,3)(0,3)C C(1,4)(1,4)D D(2(2，) )解析：解析：f f( (x x) )( (x x3)3)e ex x，f f( (x x) )e ex x( (x x2)2)0 0，x x2.2.f f( (x x) )的单调递增区间为的单调递增区间为(2(2，) )答案：答案：D D2 2. .若函数若函数h h( (x x) )2 2x xk kx xk k3 3在在(1(1，) )上是增函数，则实数上是增函数，则实数k k的取值范围是的取值范围是( () )A A 2 2，) )B B22，) )C C( (，22D D( (，22解析：因为解析：因为h h( (x x) )2 2k kx x2 2，所以，所以h h( (x x) )2 2k kx x2 22 2x x2 2k kx x2 20 0 在在(1(1，) )上恒成立上恒成立，即即k k2 2x x2 2在在(1(1，) )上恒成立，所以上恒成立，所以k k 2 2，) )答案：答案：A A3 3已知函数已知函数y yaxax与与y yb bx x在在(0(0，) )上都是减函数上都是减函数，则函数则函数y yaxax3 3bxbx2 25 5 的单调的单调减区间为减区间为_解析：根据题意解析：根据题意a a0 0，b b0.0.由由y yaxax3 3bxbx2 25 5，得，得y y3 3axax2 22 2bxbx，令令y y0 0，可得，可得x x0 0 或或x x2 2b b3 3a a，故所求减区间为故所求减区间为( (，2 2b b3 3a a) )和和(0(0，) )答案：答案：( (，2 2b b3 3a a) )和和(0(0，) )4 4设函数设函数f f( (x x) )x x3 3axax2 29 9x x1(1(a a0)0)若曲线若曲线y yf f( (x x) )的斜率最小的切线与直线的斜率最小的切线与直线 1212x xy y6 6 平行，求：平行，求：(1)(1)a a的值；的值；(2)(2)函数函数f f( (x x) )的单调区间的单调区间解：解：(1)(1)因因f f( (x x) )x x3 3axax2 29 9x x1 1，所以所以f f( (x x) )3 3x x2 22 2axax9 93 3x xa a3 32 29 9a a2 23 3. .即当即当x xa a3 3时，时，f f( (x x) )取得最小值取得最小值9 9a a2 23 3. .因斜率最小的切线与因斜率最小的切线与 1212x xy y6 6 平行平行，即该切线的斜率为即该切线的斜率为1212，所以所以9 9a a2 23 31212，即即a a2 29.9.解得解得a a3 3，由题设，由题设a a00)0，故故f f( (x x) )在在( (，1)1)上为增函数；上为增函数；当当x x( (1,3)1,3)时，时，f f( (x x)0)0)0，故，故f f( (x x) )在在(3(3，) )上为增函数上为增函数由此可见由此可见， 函数函数f f( (x x) )的单调递增区间为的单调递增区间为( (， 1)1)和和(3(3， ) )， 单调递减区间为单调递减区间为( (1,3)1,3)题组二题组二导数与函数的极值和最值导数与函数的极值和最值5.(5.(文文) )函数函数f f( (x x) )x x3 3axax2 23 3x x9 9，已知，已知f f( (x x) )在在x x3 3 时取得极值，则时取得极值，则a a( () )A A2 2B B3 3C C4 4D D5 5解析：因为解析：因为f f( (x x) )x x3 3axax2 23 3x x9 9，所以，所以f f( (x x) )3 3x x2 22 2axax3 3，由题意有，由题意有f f( (3)3)0 0，所以，所以 3 3( (3)3)2 22 2a a( (3)3)3 30 0，由此解得，由此解得a a5.5.答案：答案：D D( (理理) )设设a aR R，若函数若函数y ye ex xaxax，x xR R 有大于零的极值点有大于零的极值点，则则( () )A Aa a1 1B Ba a1 1C Ca a1 1e eD Da a1 1e e解析：由解析：由y y(e(ex xaxax) )e ex xa a0 0 得得 e ex xa a，即即x xln(ln(a a) )0 0a a1 1a a1.1.答案：答案：A A6 6. .若函数若函数f f( (x x) )x x3 33 3x xa a有有 3 3 个不同的零点，则实数个不同的零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )A A( (2,2)2,2)B B 2,22,2C C( (，1)1)D D(1(1，) )解析：由解析：由f f( (x x) )3 3x x2 23 33(3(x x1)(1)(x x1)1)，且当且当x x1 1 时，时，f f( (x x) )0 0；当当1 1x x1 1 时，时，f f( (x x) )0 0；当；当x x1 1 时，时，f f( (x x) )0.0.所以当所以当x x1 1 时函数时函数f f( (x x) )有极大值，当有极大值，当x x1 1 时函数时函数f f( (x x) )有极小值有极小值要使函数要使函数f f( (x x) )有有 3 3 个不同的零点，只需满足个不同的零点，只需满足f f( (1)1)0 0，f f(1)(1)0.0.解之得解之得2 2a a2.2.答案：答案：A A7 7函数函数y ysin2sin2x xx x，x x 2 2，2 2 的最大值是的最大值是_，最小值是，最小值是_解析：解析：y y2cos22cos2x x1 10 0，x x6 6. .而而f f( (6 6) )3 32 26 6，f f( (6 6) )3 32 26 6，端点端点f f( (2 2) )2 2，f f( (2 2) )2 2，所以所以y y的最大值是的最大值是2 2，最小值是，最小值是2 2. .答案：答案：2 22 28 8( (文文) )已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxc c，曲线，曲线y yf f( (x x) )在点在点x x1 1 处的切线处的切线l l不过第四不过第四象限且斜率为象限且斜率为 3 3，又坐标原点到切线，又坐标原点到切线l l的距离为的距离为10101010，若，若x x2 23 3时，时，y yf f( (x x) )有极值，有极值，(1)(1)求求a a，b b，c c的值；的值；(2)(2)求求y yf f( (x x) )在在 3,13,1上的最大值和最小值上的最大值和最小值解：解：(1)(1)由由f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxc c，得，得f f( (x x) )3 3x x2 22 2axaxb b. .当当x x1 1 时时， 切切线线l l的斜率的斜率为为 3 3， 可可得得 2 2a ab b0.0.当当x x2 23 3时，时，y yf f( (x x) )有极值，则有极值，则f f( (2 23 3) )0 0，可得，可得4 4a a3 3b b4 40.0.由由解得解得a a2 2，b b4.4.设切线设切线l l的方程为的方程为y y3 3x xm m. .由原点到切线由原点到切线l l的距离为的距离为10101010，则，则| |m m| |3 32 21 110101010，解得解得m m1.1.切线切线l l不过第四象限，不过第四象限，m m1.1.由于切点的横坐标为由于切点的横坐标为x x1 1，f f(1)(1)4.4.1 1a ab bc c4 4，c c5 5；(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f( (x x) )x x3 32 2x x2 24 4x x5 5，f f( (x x) )3 3x x2 24 4x x4.4.令令f f( (x x) )0 0，得，得x x2 2，x x2 23 3. .f f( (x x) )和和f f( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x 3 3，2)2)2 2( (2 2，2 23 3) )2 23 3( (2 23 3，11f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值f f( (x x) )在在x x2 2 处取得极大值处取得极大值f f( (2)2)1313，在在x x2 23 3处取得极小值处取得极小值f f( (2 23 3) )95952727. .又又f f( (3)3)8 8，f f(1)(1)4 4，f f( (x x) )在在 3,13,1上的最大值为上的最大值为 1313，最小值为，最小值为95952727. .( (理理) )已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 32 2bxbx2 2cxcx2 2 的图象在与的图象在与x x轴交点处的切线方程是轴交点处的切线方程是y y5 5x x10.10.(1)(1)求函数求函数f f( (x x) )的解析式；的解析式；(2)(2)设函数设函数g g( (x x) )f f( (x x) )1 13 3mxmx， 若若g g( (x x) )的极值存在的极值存在， 求实数求实数m m的取值范围以及函数的取值范围以及函数g g( (x x) )取得极值时对应的自变量取得极值时对应的自变量x x的值的值解：解：(1)(1)由已知，切点为由已知，切点为(2,0)(2,0)，故有，故有f f(2)(2)0 0，即即 4 4b bc c3 30.0.f f( (x x) )3 3x x2 24 4bxbxc c，由已知，由已知，f f(2)(2)12128 8b bc c5.5.得得 8 8b bc c7 70.0.联立联立、，解得，解得c c1 1，b b1 1，于是函数解析式为于是函数解析式为f f( (x x) )x x3 32 2x x2 2x x2.2.(2)(2)g g( (x x) )x x3 32 2x x2 2x x2 21 13 3mxmx，g g( (x x) )3 3x x2 24 4x x1 1m m3 3，令，令g g( (x x) )0.0.当函数有极值时，当函数有极值时，0 0，方程，方程 3 3x x2 24 4x x1 1m m3 30 0 有实根，有实根，由由4(14(1m m) )0 0，得，得m m1.1.当当m m1 1 时时，g g( (x x) )0 0 有实根有实根x x2 23 3， 在在x x2 23 3左右两侧均有左右两侧均有g g( (x x) )0 0， 故函数故函数g g( (x x) )无极值无极值当当m m1 1 时，时，g g( (x x) )0 0 有两个实根，有两个实根，x x1 11 13 3(2(2 1 1m m) )，x x2 21 13 3(2(2 1 1m m) )，当当x x变化时，变化时，g g( (x x) )、g g( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x( (，x x1 1) )x x1 1( (x x1 1，x x2 2) )x x2 2( (x x2 2，) )g g( (x x) )0 00 0g g( (x x) )极大值极大值极小值极小值故在故在m m( (，1)1)时，函数时，函数g g( (x x) )有极值；有极值；当当x x1 13 3(2(2 1 1m m) )时时g g( (x x) )有极大值；有极大值；当当x x1 13 3(2(2 1 1m m) )时时g g( (x x) )有极小值有极小值题组三题组三导数的综合应用导数的综合应用x x，都有，都有f f( (x x) )f f( (x x) )，g g( (x x) )g g( (x x) )，且，且x x00 时，时，f f( (x x)0)0，g g( (x x)0)0，则，则x x 0)0，g g( (x x)0)0B Bf f( (x x)0)0，g g( (x x)0)0C Cf f( (x x)0)0)0D Df f( (x x)0)0，g g( (x x)0)0解析解析：由题意知由题意知f f( (x x) )是奇函数是奇函数，g g( (x x) )是偶函数是偶函数当当x x0 0 时时，f f( (x x) )，g g( (x x) )都单调递增都单调递增，则当则当x x0 0 时，时，f f( (x x) )单调递增，单调递增，g g( (x x) )单调递减，即单调递减，即f f( (x x) )0 0，g g( (x x) )0.0.答案：答案：B B1010某公司生产某种产品，固定成本为某公司生产某种产品，固定成本为 2020 000000 元，每生产一单位产品，成本增加元，每生产一单位产品，成本增加 100100元，已知总营业收入元，已知总营业收入R R与年产量与年产量x x的关系是的关系是R RR R( (x x) )400400 x x1 12 2x x2 2(0(0 x x400)400)8080 000000( (x x400)400)， 则 总 利 润 最 大 时 ， 每 年 生 产 的 产 品 是， 则 总 利 润 最 大 时 ， 每 年 生 产 的 产 品 是( () )A A100100B B150150C C200200D D300300解析：由题意得，总成本函数为解析：由题意得，总成本函数为C CC C( (x x) )2020 000000100100 x x，所以总利润函数为所以总利润函数为P PP P( (x x) )R R( (x x) )C C( (x x) )300300 x xx x2 22 22020 000000(0(0 x x400)400)，6060 000000100100 x x( (x x400)400)，而而P P( (x x) )300300 x x(0(0 x x400)400)，100100( (x x400)400)，令令P P( (x x) )0 0，得，得x x300300，易知，易知x x300300 时，时，P P最大最大答案：答案：D D1111设设f f( (x x) )是函数是函数f f( (x x) )的导函数的导函数，将将y yf f( (x x) )和和y yf f( (x x) )的图象画在同一个直角坐的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是标系中，不可能正确的是( () )解析：对于图解析：对于图 A A 来说，抛物线为函数来说，抛物线为函数f f( (x x) )，直线为，直线为f f( (x x) )；对于图；对于图 B B 来说，上凸来说，上凸的曲线为函数的曲线为函数f f( (x x) )， 下凹的曲线为下凹的曲线为f f( (x x) )； 对于图对于图 C C 来说来说， 下面的曲线为函数下面的曲线为函数f f( (x x) )，上面的曲线上面的曲线f f( (x x) )只有图只有图 D D 不符合题设条件不符合题设条件答案：答案：D D1212 (2010(2010南通模拟南通模拟) )已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxc c在在x x2 23 3与与x x1 1 时都取得极值时都取得极值，(1)(1)求求a a，b b的值与函数的值与函数f f( (x x) )的单调区间；的单调区间；(2)(2)若对若对x x 1,21,2，不等式，不等式f f( (x x) )c c2 2恒成立，求恒成立，求c c的取值范围的取值范围解：解：(1)(1)f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxc c，f f( (x x) )3 3x x2 22 2axaxb b，由由f f( (2 23 3) )12129 94 43 3a ab b0 0，f f(1)(1)3 32 2a ab b0 0 得得a a1 12 2，b b2 2，f f( (x x) )3 3x x2 2x x2 2(3(3x x2)(2)(x x1)1)，函数，函数f f( (x x) )的单调区间如下表：的单调区间如下表：x x( (，2 23 3) )2 23 3( (2 23 3，1)1)1 1(1(1，) )f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值所以函数所以函数f f( (x x) )的递增区间是的递增区间是( (，2 23 3) )与与(1(1，) )，递减区间，递减区间( (2 23 3，1)1)；(2)(2)f f( (x x) )x x3 31 12 2x x2 22 2x xc c，x x 1,21,2，当当x x2 23 3时时，f f( (2 23 3) )22222727c c为极大值为极大值，而而f f(2)(2)2 2c c，则，则f f(2)(2)2 2c c为最大值，要使为最大值，要使f f( (x x) )c c2 2，x x 1,21,2恒成立，则只需恒成立，则只需要要c c2 2f f(2)(2)2 2c c，得，得c c1 1，或，或c c2.2.
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