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第八节 应 用 举 例1.1.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式(1)S= ah(h(1)S= ah(h表示边表示边a a上的高上的高).).(2)S= bcsin(2)S= bcsin A= = . A= = .(3)S= r(a+b+c)(r(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).12121absin C21acsin B2122.2.实际问题中的有关概念实际问题中的有关概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰的角叫仰角，在水平线角，在水平线_的角叫俯角的角叫俯角( (如图如图).).上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角: :从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B B点的方位角点的方位角为为(如图如图).).(3)(3)方向角方向角: :相对于某一正方向的水平角相对于某一正方向的水平角( (如图如图) )(i)(i)北偏东北偏东即由指北方向顺时针旋转即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆时针旋转即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似. .(4)(4)坡角与坡度坡角与坡度坡角坡角: :坡面与水平面所成的二面角的度坡面与水平面所成的二面角的度数数( (如图如图，角，角为坡角为坡角) )；坡度坡度: :坡面的铅直高度与水平长度之比坡面的铅直高度与水平长度之比( (如图如图，i i为坡度为坡度).).坡度又称为坡比坡度又称为坡比. .判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)面积公式中面积公式中S= bcsin A= absin C= acsinS= bcsin A= absin C= acsin B B，其实质就，其实质就是面积公式是面积公式S= ah= bh= ch(hS= ah= bh= ch(h为相应边上的高为相应边上的高) )的变形的变形.( ).( )(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0, 0, .( ).( )(3)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系点之间的位置关系.( ).( )(4)(4)方位角大小的范围是方位角大小的范围是0,2)0,2)，方向角大小的范围一般是，方向角大小的范围一般是0, ).( )0, ).( )12121212121222【提示【提示】(1)(1)正确正确. .如如S= absin C= ah(h=bsinS= absin C= ah(h=bsin C) C)，h h即为即为边边a a上的高上的高. .(2)(2)错误错误. .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .(3)(3)正确正确. .方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的关系的. .(4)(4)正确正确. .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为角，故大小的范围为0,2)0,2)，而方向角大小的范围由定义可，而方向角大小的范围由定义可知为知为0, ).0, ).答案答案: :(1) (2)(1) (2) (3) (4) (3) (4)121221.1.在在ABCABC中中,A= ,AB=1,AC=2,A= ,AB=1,AC=2,则则S SABCABC的值为的值为( )( )(A) (B)1 (C) (D)(A) (B)1 (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由已知得由已知得A= ,AB=c=1,AC=b=2,A= ,AB=c=1,AC=b=2,SSABCABC= bcsin= bcsin A= A= 2 21 1 = . = .3123233121232322.2.在在ABCABC中中,AC= ,AB= ,S,AC= ,AB= ,SABCABC= = ，则，则coscos A A等于等于( )( )(A) (B) (C)(A) (B) (C) (D) (D)【解析【解析】选选D.D.由已知得由已知得AC=b= ,AB=c= ,AC=b= ,AB=c= ,S SABCABC= = 得，得， bcsinbcsin A= , A= ,即即 , ,故故sin A= .sin A= .cos A= .cos A= .5222552 55552 55522212221252sin A225522 51 sin A5 3.3.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离相等，的距离相等，灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的方向为的方向为( )( )(A)(A)北偏西北偏西5 5 (B) (B)北偏西北偏西1010(C)(C)北偏西北偏西1515 (D) (D)北偏西北偏西2020【解析【解析】选选B.B.由已知由已知ACBACB180180404060608080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010. .灯塔灯塔A A位于灯塔位于灯塔B B的北偏西的北偏西1010. .4.4.已知已知A A，B B两地的距离为两地的距离为10 km,B10 km,B，C C两地的距离为两地的距离为20 km,20 km,现测现测得得ABC=120ABC=120，则，则A A，C C两地的距离为两地的距离为_km._km.【解析【解析】如图所示，如图所示，由余弦定理可得：由余弦定理可得：ACAC2 2=100+400-2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，AC=10 (km).AC=10 (km).答案答案: :1010775.5.某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为1515的看台上，的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为6060和和3030，第一排和最后一排的距离为，第一排和最后一排的距离为 米米( (如图所示如图所示) )，则，则旗杆的高度为旗杆的高度为_米米. .10 6【解析【解析】如图所示，依题意可知如图所示，依题意可知AEC=45AEC=45, ,ACE=180ACE=180-60-60-15-15=105=105, ,EAC=180EAC=180-45-45-105-105=30=30. .由正弦定理可知由正弦定理可知 , ,AC= AC= sinCEAsinCEA=20 (=20 (米米) )，在在RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=ACsinACBsinACB= =30(= =30(米米).).即旗杆的高度为即旗杆的高度为3030米米. .答案答案: :3030CEACsin EACsin CEACEsin EAC3320 32考向考向1 1 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013中山模拟中山模拟) )已知已知O O为为ABCABC内一点，满足内一点，满足 = =0， =2=2，且，且BAC= BAC= ，则，则OBCOBC的面积为的面积为 ( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)OAOBOC AB AC 312333223(2)(2013(2)(2013揭阳模拟揭阳模拟) )在在ABCABC中，若中，若A=30A=30，b=2b=2，且，且 =0=0，则，则ABCABC的面积为的面积为( )( )(A)2 (B) (C)1 (D)2(A)2 (B) (C)1 (D)2(3)(2013(3)(2013北京模拟北京模拟) )已知已知ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所对的边所对的边分别为分别为a,b,ca,b,c，角，角A A是锐角，且是锐角，且 b=2asin B.b=2asin B.求角求角A A的度数的度数; ;若若a=7a=7，ABCABC的面积为的面积为10 ,10 ,求求ABCABC的周长的周长. .22BA BCAB 3333【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先确定先确定O O点的位置，可知点的位置，可知O O为为ABCABC的重心，再的重心，再利用向量关系求得利用向量关系求得ABCABC面积即可求得面积即可求得S SOBCOBC. .(2)(2)利用已知条件求边利用已知条件求边a,ba,b, ,角角C C，即可求得面积，即可求得面积. .(3)(3)利用正弦定理得角利用正弦定理得角A A，再利用余弦定理得，再利用余弦定理得b+cb+c，从而可求周，从而可求周长长. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.由由 = =0，可知，可知O O为为ABCABC的重的重心，故心，故S SOBCOBC= S= SABCABC, ,由由 =2=2得得c cbcosbcos BAC=2, BAC=2,又又coscos BAC= , BAC= ,故故bcbc=4,=4,SSABCABC= bcsinBAC= bcsinBAC= ,= ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC 13AB AC 1212134322 1333(2)(2)选选B.B.由由2 =02 =0得得2cacos B=c2cacos B=c2 2，即，即2acos B=c.2acos B=c.方法一方法一: :由正弦定理得由正弦定理得2sin Acos B=sin C=sin(A+B2sin Acos B=sin C=sin(A+B),),得得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，故故sin Acos B-cos Asin B=0,sin Acos B-cos Asin B=0,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,又又A,BA,B是是ABCABC的内角的内角, ,故故A-B=0,A-B=0,2BA BCAB A=B,a=b=2,A=B,a=b=2,A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .由由S SABCABC= absin C= absin C得得S SABCABC= .= .12132 2322 方法二方法二：由余弦定理得，：由余弦定理得，2a2a =c =c，即，即a a2 2+c+c2 2-b-b2 2=c=c2 2, ,aa2 2=b=b2 2, ,即即a=b=2,A=B,a=b=2,A=B,又又A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .SSABCABC= absin C= .= absin C= .222acb2ac12132 2322 (3)(3)由已知得由已知得 ，由正弦定理，由正弦定理 得得sin A= .sin A= .又又A A为锐角为锐角, ,故故A= .A= .由余弦定理得由余弦定理得cos A= cos A= ，即即b b2 2+c+c2 2-49=bc,-49=bc,由由 bcsin A=10 bcsin A=10 ，得，得bc=40,bc=40,故故b b2 2+c+c2 2=89=89，得，得(b+c)(b+c)2 2=169,=169,又又b b0 0，c c0,b+c=13.0,b+c=13.故故ABCABC的周长为的周长为20.20.absin B32absin Asin B323222bca2bc123【互动探究【互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中中“ “ =0”=0”修改为修改为“O O为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点”，其他条件不变，则，其他条件不变，则OBCOBC的面积又该的面积又该如何求解如何求解? ?【解析【解析】由由 =2=2得得cbcos A=2,cbcos A=2,又又BAC= ,cos BAC= ,bc=4,BAC= ,cos BAC= ,bc=4,SSABCABC bcsinBAC= .bcsinBAC= .又又O O为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点, ,故故S SOBCOBC= S= SABCABC= .= .OAOBOC AB AC 3121231232【拓展提升【拓展提升】三角形的面积公式三角形的面积公式(1)(1)已知一边和这边上的高已知一边和这边上的高: :S= ahS= aha a= bh= bhb b= ch= chc c. .(2)(2)已知两边及其夹角：已知两边及其夹角：S= absin C= acsin B= bcsinS= absin C= acsin B= bcsin A. A.(3)(3)已知三边：已知三边：S= ,S= ,其中其中p= .p= .121212121212p papb (pc)abc2(4)(4)已知两角及两角的共同边：已知两角及两角的共同边：S= .S= .(5)(5)已知三边和外接圆半径已知三边和外接圆半径R R，则，则S= .S= .222b sin Csin Ac sin Asin Ba sin Bsin C2sin(CA)2sin(AB)2sin(BC)abc4R【变式备选【变式备选】在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知 . .(1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)若若coscos B= B= ，b=2,b=2,求求ABCABC的面积的面积S.S.cos A2cos C2cacos Bbsin Csin A14【解析【解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得 ，即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos Bcos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，则则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin Bcos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则，则sin C=2sin Asin C=2sin A，即即 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bbcos A2cos C2sin Csin Acos Bsin Bsin Csin A方法二方法二：在：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acos Bbcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得由余弦定理可得 ，整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得 =2.=2.cos A2cos C2cacos Bb222222222bcaabcacb2caa222acb2csin Ccsin Aa(2)(2)由由c=2ac=2a及及cos B= ,b=2cos B= ,b=2可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accos B=4a-2accos B=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,则则a=1a=1，c=2c=2，S= acsin B= S= acsin B= 1 12 2 = = ，即即S= .S= .141221 cos B15415412考向考向2 2 测量距离问题测量距离问题【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013聊城模拟聊城模拟) )如图如图, ,设设A A，B B两点在河的两岸，一测量者在两点在河的两岸，一测量者在A A的同侧的河岸边选定一点的同侧的河岸边选定一点C C，测出，测出ACAC的的距离是距离是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以计算出后，就可以计算出A A，B B两点的距离为两点的距离为( )( )(A)50 m (B)50 m (C)25 m (D) m(A)50 m (B)50 m (C)25 m (D) m23225 22(2)(2011(2)(2011上海高考上海高考) )在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B两点处测量目标点两点处测量目标点C C，若若CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,则则A A，C C两点之间的距离为两点之间的距离为_千米千米. .【思路点拨【思路点拨】(1)(1)利用三角形的内角和定理得利用三角形的内角和定理得ABCABC，再利用正，再利用正弦定理可解弦定理可解. .(2)(2)利用已知角求得利用已知角求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 ，ABAB (m).(m).ABACsin ACBsin ABC250AC sin ACB250 21sin ABC2(2)(2)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理得由正弦定理得 , ,即即AC= (AC= (千米千米).).答案答案: :ABACsin ACBsin CBA32AB sin CBA26sin ACB226【互动探究【互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中中A A，B B两点放到河岸的同侧，但两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距不能到达，在对岸的岸边选取相距 kmkm的的C C，D D两点，同时，两点，同时，测得测得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面内在同一平面内) )，则两点，则两点A A，B B之间的之间的距离又如何求解距离又如何求解? ?3【解析【解析】如图所示，如图所示，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，ACACCDCD在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .3.由正弦定理可得由正弦定理可得BCBC . .在在ABCABC中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22AC2ACBCBCcosBCAcosBCA，ABAB2 2 5 5，ABAB (km).(km).即两点即两点A A，B B之间的距离为之间的距离为 km.km.3sin 7562sin 602226262( 3)()2 3cos 752255【拓展提升【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤(1)(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系量与量之间的关系. .(2)(2)根据题意画出示意图，并将所求量放到三角形中去，将实根据题意画出示意图，并将所求量放到三角形中去，将实际问题抽象成解三角形问题际问题抽象成解三角形问题. .(3)(3)选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解. .(4)(4)将三角形的解还原为实际问题的解将三角形的解还原为实际问题的解. .【变式备选【变式备选】如图，如图，A A，B B是海面上位于是海面上位于东西方向相距东西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的两个观测海里的两个观测点，现位于点，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘轮船发出求救信号，位点有一艘轮船发出求救信号，位于于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距20 20 海里的海里的C C点的救援船立即前点的救援船立即前往营救，其航行速度为往营救，其航行速度为3030海里海里/ /小时，该救援船到达小时，该救援船到达D D点需要多点需要多长时间？长时间？33【解析【解析】由题意知由题意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里，海里，DBA=90DBA=90-60-60=30=30, ,DAB=90DAB=90-45-45=45=45. . ADB=180 ADB=180-(45-(45+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 , ,DB=DB=10 (=10 (海里海里).).3DBABsin DABsin ADBAB sin DAB5(33) sin 45sin ADBsin 1053又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60，BC=20 BC=20 海里，海里，在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2-2BD-2BDBCBCcosDBCcosDBC=300+1 200-2=300+1 200-210 10 20 20 =900 =900，CD=30CD=30海里海里. .故所需时间故所需时间t= =1(t= =1(小时小时).).故救援船到达故救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. .331233030考向考向3 3 测量高度、角度问题测量高度、角度问题【典例【典例3 3】(1)(1)如图，当甲船位于如图，当甲船位于A A处时获处时获悉在其正东方向相距悉在其正东方向相距2020海里的海里的B B处有一艘处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西同时把消息告知在甲船的南偏西3030，相距，相距1010海里海里C C处的乙处的乙船，乙船立即朝北偏东船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往角的方向沿直线前往B B处救援，则处救援，则sin sin 的值等于的值等于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)21722325 714(2)(2)某气象仪器研究所按以下方案测试某气象仪器研究所按以下方案测试一种一种“弹射型弹射型”气象观测仪器的垂直弹气象观测仪器的垂直弹射高度：射高度：A A，B B，C C三地位于同一水平面三地位于同一水平面上，在上，在C C处进行该仪器的垂直弹射，观处进行该仪器的垂直弹射，观测点测点A A，B B两地相距两地相距100100米，米，BAC=60BAC=60，在，在A A地听到弹射声音的地听到弹射声音的时间比时间比B B地晚地晚 秒秒. .在在A A地测得该仪器至最高点地测得该仪器至最高点H H时的仰角为时的仰角为3030，求该仪器的垂直弹射高度，求该仪器的垂直弹射高度CH.(CH.(声音在空气中的传播速度声音在空气中的传播速度为为340340米米/ /秒秒) )217【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先根据题意作出图象，在先根据题意作出图象，在ABCABC中，利用余弦中，利用余弦定理求得定理求得BCBC，然后根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得sinACBsinACB，则，则cosACBcosACB可可得，进而利用得，进而利用sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)，根据正弦函数的两角，根据正弦函数的两角和公式解决和公式解决. .(2)(2)利用已知条件先求利用已知条件先求ACAC，再利用正切求，再利用正切求CHCH即可即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.根据题目条件可作图，如图根据题目条件可作图，如图: :在在ABCABC中，中，AB=20,AC=10,CAB=120AB=20,AC=10,CAB=120, ,由余弦定理有由余弦定理有BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACcosCABACcosCAB=20=202 2+10+102 2-2-2202010cos 12010cos 120=700,=700,BC=10 ,BC=10 ,再由正弦定理得再由正弦定理得 , ,sinACBsinACB= ,= ,cosACBcosACB= .= .7ABBCsin ACBsin CABABsin CAB20 sin 12021BC710 72 77所以所以sin =sin(30sin =sin(30+ACB)+ACB)=sin 30=sin 30cosACB+cos 30cosACB+cos 30sinACBsinACB= .= .(2)(2)由题意，设由题意，设AC=x,AC=x,则则BC=x- BC=x- 340=x-40,340=x-40,在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2AB-2ABACACcosBAC,cosBAC,即即(x-40)(x-40)2 2=10 000+x=10 000+x2 2-100 x,-100 x,12 73215 7272714217解得解得x=420.x=420.在在ACHACH中，中，AC=420,CAH=30AC=420,CAH=30,ACH=90,ACH=90, ,所以所以CH=ACCH=ACtanCAHtanCAH=140 (=140 (米米).).故该仪器的垂直弹射高度故该仪器的垂直弹射高度CHCH为为140 140 米米. .33【拓展提升【拓展提升】1.1.处理高度问题的注意事项处理高度问题的注意事项(1)(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角( (视线在水平线视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角上方、下方的角分别称为仰角、俯角) )是一个关键是一个关键(2)(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面在实际问题中，可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错这样处理起来既清楚又不容易搞错. .【提醒【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合平面图形的结合. .2.2.测量角度问题的一般步骤测量角度问题的一般步骤(1)(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离形中标出有关的角和距离. .(2)(2)用正弦定理或余弦定理解三角形用正弦定理或余弦定理解三角形. .(3)(3)将解得的结果转化为实际问题的解将解得的结果转化为实际问题的解同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量不出来，需要先在其他三角形中求解相关量. .【变式训练【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔要测量底部不能到达的电视塔ABAB的高度，在的高度，在C C点点测得塔顶测得塔顶A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是3030，并，并测得水平面上的测得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求电视塔的高度，求电视塔的高度. .【解析【解析】如图，设电视塔如图，设电视塔ABAB的高为的高为x mx m，则在则在RtRtABCABC中，由中，由ACBACB4545得得BCBCx.x.在在RtRtABDABD中，由中，由ADBADB3030，得得BDBD x.x.在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BDBD2 2BCBC2 2CDCD2 22BC2BCCDCDcos 120cos 120，即即( x)( x)2 2x x2 240402 22 2x x4040cos 120cos 120，解得解得x x4040，电视塔高为电视塔高为4040米米. .33【满分指导【满分指导】三角形中面积公式的应用三角形中面积公式的应用【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对的对边分别为边分别为a,b,ca,b,c，已知，已知A= A= ，bsin( +C)-csinbsin( +C)-csin( +B)=a.( +B)=a.(1)(1)求证：求证：B-C= .B-C= .(2)(2)若若a= a= ，求，求ABCABC的面积的面积. .44422【思路点拨【思路点拨】 【规范解答【规范解答】(1)(1)由由bsinbsin ( +C)-csin ( +B)=a ( +C)-csin ( +B)=a，应用正弦定理，应用正弦定理，得得sin Bsin ( +C)-sin Csin ( +B)=sin A,sin Bsin ( +C)-sin Csin ( +B)=sin A, 3 3分分sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)=整理得整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,sin Bcos C-cos Bsin C=1,即即sin(B-C)=1, sin(B-C)=1, 5 5分分4444222222222,2由于由于0B ,00B ,0C C , ,从而从而B-C= .B-C= . 6 6分分(2)B+C=-A= (2)B+C=-A= ，由，由(1)(1)知知B-C= ,B-C= ,因此因此B= ,C= , B= ,C= , 8 8分分 2sin ,2sin ,1010分分所以所以ABCABC的面积的面积S=S= .= . 1212分分34342342588asin B5asin Ca2,Ab2sin ,c4sin A8sin A由，得815bcsin A2sin sin 28812cos sin 882【失分警示【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20131.(2013汕头模拟汕头模拟) )在在ABCABC中，中，A=60A=60,AC=8,AC=8,面积面积S=4 S=4 ，则则BC=( )BC=( )(A) (B)2 (C)2 (D)3(A) (B)2 (C)2 (D)33131313【解析【解析】选选C.C.因为因为A=60A=60,AC=b=8,AC=b=8,面积面积S=4 = bcsinS=4 = bcsin A, A,bcbc=16,b=8,c=2.=16,b=8,c=2.aa2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A=52,-2bccos A=52,a=2 .a=2 .312132.(20132.(2013深圳模拟深圳模拟) )小明的爸爸开汽车以小明的爸爸开汽车以80 km/h80 km/h的速度沿的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A A处处望见电视塔望见电视塔P P在北偏东在北偏东3030方向上，方向上，1515分钟后到点分钟后到点B B处望见电处望见电视塔在北偏东视塔在北偏东7575方向上，则汽车在点方向上，则汽车在点B B时与电视塔时与电视塔P P的距离的距离是是_ km._ km.【解析【解析】如图所示，如图所示，BAP=30BAP=30,CBP=75,CBP=75, ,BPA=45BPA=45, ,由已知得由已知得AB=80AB=80 =20(km), =20(km),由正弦定理得由正弦定理得 ，故故BP= BP= =10 (km).=10 (km).答案答案: :101014ABBPsin BPAsin 30120AB sin 302sin BPA22223.(20133.(2013珠海模拟珠海模拟) )如图，一艘船上午如图，一艘船上午9 9：3030在在A A处测得灯塔处测得灯塔S S在它的北偏东在它的北偏东3030方向上，方向上，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:0010:00到达到达B B处，且与灯塔处，且与灯塔S S相距相距8 n mile.8 n mile.此船此船的航速是的航速是32 n mile/h32 n mile/h，则灯塔，则灯塔S S对于点对于点B B的的方向角是方向角是_._.2【解析【解析】由已知可得由已知可得, ,AB=32 n mile/hAB=32 n mile/h h=16 n mile h=16 n mile，BS=8 n mile,BAS=30BS=8 n mile,BAS=30, ,由正弦定理得由正弦定理得 , ,sinASB= .sinASB= .又又0 0ASBASB180180，得，得ASB=45ASB=45或或135135, ,若若ASB=45ASB=45，则，则ABS=105ABS=105，12ABBSsin ASBsin 30116AB sin 3022BS28 22此时，此时，S S在点在点B B的北偏东的北偏东7575方向上；方向上；若若ASB=135ASB=135，则，则ABS=15ABS=15, ,此时，此时，S S在点在点B B的南偏东的南偏东1515方向上方向上. .答案答案: :北偏东北偏东7575或南偏东或南偏东15151.1.在在ABCABC中，中，AB= AB= ，点，点D D是是BCBC的中点，且的中点，且AD=1AD=1，BAD=30BAD=30，则则ABCABC的面积为的面积为( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.如图所示，在如图所示，在ABDABD中，中，BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2- -2AB2ABADcos 30ADcos 30=3+1-2=3+1-2 1 1 =1. =1.故故BD=1.BD=1.31222323332方法一：由于方法一：由于D D是是BCBC的中点，故的中点，故S SABCABC=2S=2SBADBAD=2=2 ABABADADsinBADsinBAD= .= .方法二：由方法二：由BD=1BD=1，得，得BC=2,BC=2,又又 ，得，得sin B= .sin B= .SSABCABC= = BABABCBCsin B= .sin B= .方法三方法三: :由于由于BD=1BD=1，AD=1,AD=1,故故B=BAD=30B=BAD=30, ,而而BC=2BD=2,BC=2BD=2,故故S SABCABC= = BABABCsin B= .BCsin B= .1211323 1222 BDADsin 30sin BAD sin 301BD21211332222 1211332222 2.2.攀岩运动是一项刺激而危险的运动攀岩运动是一项刺激而危险的运动, ,在某在某次攀岩运动中，为确保运动员的安全次攀岩运动中，为确保运动员的安全, ,地面地面救援者应时刻注意运动员离地面的距离救援者应时刻注意运动员离地面的距离, ,以以备发生危险时进行及时救援备发生危险时进行及时救援. .为了方便测量为了方便测量和计算和计算, ,如图，如图，A,CA,C分别为两名攀岩者所在分别为两名攀岩者所在位置位置,B,B为山的拐角处为山的拐角处, ,且斜坡且斜坡ABAB的坡角为的坡角为,D,D为山脚为山脚, ,某人在某人在E E处测得处测得A,B,CA,B,C的仰角分别为的仰角分别为,ED,ED=a,=a,(1)(1)求求B B，D D间的距离及间的距离及C C，D D间的距离间的距离. .(2)(2)求证求证: :在在A A处，攀岩者距地面的距离处，攀岩者距地面的距离h= .h= .asin sin cos sin()【解析【解析】(1)(1)根据题意得根据题意得CED=,BED=,AEDCED=,BED=,AED=,=,在直角在直角三角形三角形CEDCED中中,tan = ,CD=atan,tan = ,CD=atan , ,在直角三角形在直角三角形BEDBED中中,tan = ,BD=atan,tan = ,BD=atan . .(2)(2)易得易得AE= ,AE= ,在在ABEABE中中,AEB=-,ABE=+,AEB=-,ABE=+, ,EAB=-(+EAB=-(+),),由正弦定理得由正弦定理得 , ,代入整理得代入整理得:h= .:h= .CDDEBDDEha,BEsin cos BEAEsin EABsin ABEasin sin cos sin ()
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