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第第10课时函数模型及其应用课时函数模型及其应用第二章基本初等函数、导数及其应用第二章基本初等函数、导数及其应用教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.几类函数模型几类函数模型2.三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数指数函数yax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)在区间在区间(0,)上上,无论无论n比比a大多少大多少,尽尽管在管在x的一定范围内的一定范围内ax会小于会小于xn,但由于但由于ax的增长的增长_xn的增长的增长,因而总存因而总存在一个在一个x0,当当xx0时有时有_.快于快于axxn(2)对数函数对数函数ylogax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)对数函数对数函数ylogax(a1)的增长速度的增长速度,不论不论a与与n值的大小如何总会值的大小如何总会_yxn的增长速度的增长速度,因而在定义域内总存在一因而在定义域内总存在一个实数个实数x0,使使xx0时有时有_.慢于慢于logaxxn由由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数管均为增函数,但它们的增长速度不同但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上且不在同一个档次上,因此在因此在(0,)上上,总会存在一个总会存在一个x0,使使xx0时有时有_.axxnlogax(a1,n0)课前热身课前热身答案：答案：A2.2011年年6月月30日到银行存入日到银行存入a元元,若年若年利率为利率为x,且不扣除利息税且不扣除利息税,则到则到2019年年6月月30日可取回日可取回()A.a(1x)8元元 B.a(1x)9元元C.a(1x8)元元 D.a(1x)8元元答案：答案：A4.一根弹簧原长一根弹簧原长15 cm,已知在已知在20 kg内内弹簧长度与所挂物体的重量成一次函数弹簧长度与所挂物体的重量成一次函数,现测得当挂重量为现测得当挂重量为4 kg的物体时的物体时,弹簧弹簧长度为长度为17 cm,问当弹簧长度为问当弹簧长度为22 cm时时,所挂物体的重量应为所挂物体的重量应为_kg.答案：答案：145.曾经温家宝总理代表中国政府在哥本曾经温家宝总理代表中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005年至年至2020年年,中国二氧化碳排放强中国二氧化碳排放强度下降度下降40%,则则2005年至年至2020年二氧化年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为碳排放强度平均每年降低的百分数为_.解析：设从解析：设从2005年至年至2020年平均每年年平均每年降低的百分数为降低的百分数为x,则则2020年的排放量为年的排放量为(1x)1 5,即即(1x)1 50.4,解得解得x0.059.答案：答案：5.9%考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1分段函数模型分段函数模型(1)现实生活中有很多问题都是用分段现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的函数表示的,如出租车计费、个人所得如出租车计费、个人所得税等税等,分段函数是刻画实际问题的重要分段函数是刻画实际问题的重要模型模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同所遵循的规律不同,可以先将其当作几可以先将其当作几个问题个问题,将各段的变化规律分别找出来将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起再将其合到一起,要注意各段变量的范要注意各段变量的范围围,特别是端点值特别是端点值.例例1【名师点评名师点评】本题主要考查利用函数本题主要考查利用函数模型解决实际问题模型解决实际问题.考查建模能力考查建模能力,利用利用函数图象和性质求一次、二次函数在定函数图象和性质求一次、二次函数在定区间上的最值区间上的最值.考查学生利用数学知识考查学生利用数学知识解决实际问题的意识和能力解决实际问题的意识和能力.顺利建立顺利建立函数模型是解好本题的关键函数模型是解好本题的关键.考点考点2二次函数模型二次函数模型二次函数模型为生活中最常见的一种数二次函数模型为生活中最常见的一种数学模型学模型,因二次函数可求其最大值因二次函数可求其最大值(或最或最小值小值),故最优、最省等问题常常是二次故最优、最省等问题常常是二次函数的模型函数的模型.例例2(1)求年产量为多少吨时求年产量为多少吨时,生产每吨产品生产每吨产品的平均成本最低的平均成本最低,并求最低成本并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为若每吨产品平均出厂价为40万元万元,那那么当年产量为多少吨时么当年产量为多少吨时,可以获得最大可以获得最大利润利润?最大利润是多少最大利润是多少?【思路分析思路分析】(1)平均成本为总成本平均成本为总成本与年产量的商与年产量的商;(2)利润为总销售额减去总成本利润为总销售额减去总成本.【方法指导方法指导】用二次函数解决实际问用二次函数解决实际问题时题时,一般要借助函数图象的开口方向一般要借助函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决和对称轴与单调性解决,但一定要注意但一定要注意实际问题中函数的定义域实际问题中函数的定义域,否则极易出否则极易出错错.考点考点3指数函数模型指数函数模型指数函数、对数函数的应用是高考的一指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容个重点内容,常与增长率相结合进行考常与增长率相结合进行考查查.在实际问题中在实际问题中,有关人口增长、银行有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示函数模型表示,通常可以表示为通常可以表示为yN(1p)x(其中其中N为为原来的基础数原来的基础数,p为增长率为增长率,x为时间为时间)的的形式形式.另外另外,指数方程常利用对数进行计指数方程常利用对数进行计算算,指数、对数在很多问题中可转化应指数、对数在很多问题中可转化应用用. 2010年年10月月1日日,某城市现有人某城市现有人口总数口总数100万万,如果年自然增长率为如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题：试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(万人万人)与年数与年数x(年年)的函数关系式的函数关系式;(2)计算计算10年后该城市人口总数年后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人).(1.012101.127)例例3【思路分析思路分析】先写出先写出1年后、年后、2年后、年后、3年后的人口总数年后的人口总数写出写出y与与x的函数关的函数关系系计算求解计算求解作答作答.互动探究互动探究本例的条件不变本例的条件不变,试计算：试计算：(1)计算大约多少年后该城市人口将达到计算大约多少年后该城市人口将达到120万人万人(精确到精确到1年年);(2)如果如果20年后该城市人口总数不超过年后该城市人口总数不超过120万人万人,则年自然增长率应控制在多少则年自然增长率应控制在多少?(2)设年自然增长率为设年自然增长率为x,依题意有依题意有100(1x)20120,由此得由此得(1x)201.20,由计算器计算得由计算器计算得1x1.009,x0.9%.所以年自然增长率应控制在小于或等于所以年自然增长率应控制在小于或等于0.9%.方法技巧方法技巧求解函数应用题的一般方法求解函数应用题的一般方法“数学建模数学建模”是解决数学应用题的重要是解决数学应用题的重要方法方法,解应用题的一般程序是：解应用题的一般程序是：(1)审题：弄清题意审题：弄清题意,分清条件和结论分清条件和结论,理理顺数量关系顺数量关系;(2)建模：将文字语言转化成数学语言建模：将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模：求解数学模型求模：求解数学模型,得到数学结论得到数学结论;(4)还原：将用数学方法得到的结论还还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义原为实际问题的意义.失误防范失误防范1.函数模型应用不当函数模型应用不当,是常见的解题错是常见的解题错误误.所以所以,应正确理解题意应正确理解题意,选择适当的选择适当的函数模型函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取要特别关注实际问题的自变量的取值范围值范围,合理确定函数的定义域合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈注意问题反馈.在解决函数模型后在解决函数模型后,必必须验证这个数学解对实际问题的合理须验证这个数学解对实际问题的合理性性.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,建立函数模建立函数模型解决实际问题是高考的热点型解决实际问题是高考的热点,题型主题型主要以解答题为主要以解答题为主,难度中等偏高难度中等偏高,常与导常与导数、最值交汇数、最值交汇,主要考查建模能力主要考查建模能力,同时考查分析问题、解决问题的能力同时考查分析问题、解决问题的能力.预测预测2013年高考仍将以函数建模为主年高考仍将以函数建模为主要考点要考点,同时考查利用导数求最值问题同时考查利用导数求最值问题.要重点训练学生处理问题要重点训练学生处理问题,建立数学模建立数学模型的能力型的能力.典例透析典例透析 (本题满分本题满分12分分)(2010高考湖高考湖北卷北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层造隔热层.某幢建筑物要建造可使用某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成每厘米厚的隔热层建造成本为本为6万元万元. 例例【名师点评名师点评】本题是常见函数应用问本题是常见函数应用问题题,主要考查运用函数知识解决实际问主要考查运用函数知识解决实际问题的能力、处理数据的能力和运算求解题的能力、处理数据的能力和运算求解能力能力.
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