高考数学 专题六 函数与导数 第4讲 导数的热点问题 理

第4讲导数的热点问题专题六函数与导数板块三专题突破核心考点考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.热点一利用导数证明不等式解答例例1(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0，e2.718，e为自然对数的底数)，若f(x)0对于xR恒成立.(1)求实数a的值；解解由f(x)ex(aexax)0对于xR恒成立，设函数g(x)aexax，可得g(x)aexax0对于xR恒成立，g(0)0，g(x)g(0)，从而x0是g(x)的一个极小值点，g(x)aex1，g(0)a10，即a1.当a1时，g(x)ex1x，g(x)ex1，x(，0)时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0，故a1.证明证明证明当a1时，f(x)e2xexxex，f(x)ex(2exx2).令h(x)2exx2，则h(x)2ex1，当x(，ln 2)时，h(x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数，h(1)0，在(2，1)上存在xx0满足h(x0)0，h(x)在(，ln 2)上为减函数，当x(，x0)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(，x0)上为增函数，当x(x0，ln 2)时，h(x)0，即f(x)0，f(x)在(x0，ln 2)上为减函数，当x(ln 2,0)时，h(x)h(0)0，即f(x)h(0)0，即f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点0，综上可知，f(x)存在唯一的极大值点x0，且x0(2，1).h(x0)0，2 x020，0ex00020eeexxxx用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.思维升华思维升华解答跟踪演练跟踪演练1(2018荆州质检)已知函数f(x)axln x.(1)讨论f(x)的单调性；当a0时，则f(x)0时，综上当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；证明证明证明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x，设r(x)xeax11(x0)，则r(x)(1ax)eax1(x0)，eax10，h(t)h(e2)0；g(x)0，故f(x)2axxeax1.热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.解答例例2(2018衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)ex2aln(xa)，aR，e为自然对数的底数.(1)若a0，且函数f(x)在区间0，)内单调递增，求实数a的取值范围；解解函数f(x)在0，)内单调递增，即aexx在0，)内恒成立.记g(x)exx，则g(x)ex10恒成立，g(x)在区间0，)内单调递减，g(x)g(0)1，a1，即实数a的取值范围为1，).解答知f(x)在区间(a，)内单调递增.f(x)在区间(a，)内存在唯一的零点x0，0ex当axx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增.f(x)minf(x0) 2aln (x0a)0ex当且仅当x0a1时，取等号.f(x)minf(x0)0，即函数f(x)没有零点.0ex(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2(2018全国)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；证明证明证明当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增.因为h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点；由(1)知，当x0时，exx2，故h(x)在(2,4a)上有一个零点.因此h(x)在(0，)上有两个零点.生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.热点三利用导数解决生活中的优化问题解答例例3罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；解解设需新建n个桥墩，解答(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？32x令f(x)0，得 64，所以x16.当0 x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，所以f(x)在x16处取得最小值，32x答答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.思维升华思维升华解答跟踪演练跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；解解易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，解答(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.8x2(43)x3.令T16x3(43)x20，真题押题精练(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；真题体验解答解解f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.(ii)若a0，由(1)知，当xln a时，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点.因此f(x)在(ln a，)上有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).则f(n0) (a a2)n0 n0 n00.0en0en0en02n押题预测已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数.(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0,1)上是增函数；押题依据押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.证明押题依据证明证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，acos(1x)0，故函数G(x)在区间(0,1)上是增函数.证明证明证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在(0,1)上单调递增.sin(1x)ln x0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.解解由对任意的x0，m0恒成立，即当x(0，)时，F(x)min0.又设h(x)F(x)ex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增，又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，b 2x0200200e2e2xxxx又m0，则x0(0，ln 2)，0ex0ex0ex0ex0exm(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)m(ln 2)2ln 2，b2ln 2，又b为整数，最小整数b的值为2.