平面几何中的向量方法 一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程

平面几何中的向量方法 一、教学内容分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）第二章平面向量第5节第一课时，是在高一学生学习了平面向量的概念，运算以及数量积等知识后的一堂专题探讨课。从教材的内容上来看，教材从数与形两个方面建构和研究向量，如向量的几何表示，三角形，平行四边形法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算以及向量的模又让向量具备数的特征，所以我们在研究向量问题或向量解决平面几何问题时，应具备数形结合思想，转化思想。由于向量的线形运算和向量的数量积为我们用代数方法研究平面几何问题提供可能性，而通常学生在处理向量问题时多选择数而忽略了形，为了提高学生的综合解题能力，数形结合能力，所以向量在平面几何的应用这一课时的设计中为学生提供一个借助几何图形处理向量问题的思考方向。并且由于教材例2难度较大，学生理解有困难，所以在选择例题的时候就重新设计了题目。通过本堂课的教学让学生感受数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，达到提高学生运用数形结合思想，转化思想解决问题的能力，并把培养学生的建构意识和合作探索意识作为教学目标。但是二、学情分析平面向量是新增的内容，近几年在高考中都会出现相应的题目，因此学好平面向量知识非常重要，由于在高一阶段，学生还没有学习过解析几何的内容，只是在学习过初中平面几何的知识，因此本节的几何模型只局限于平面几何图形。本人执教的班级是平行班，学生基础较差，学生的独立思考能力，数形结合能力并不是很强，所以这节课采用讲练结合，学生练习为主，教师引导为辅的授课方式，希望能达到既发挥学生的主观能动性，带领学生直接参与分析问题，解决问题并品尝劳动成果的喜悦，又能达到预期的教学目标。三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出用向量方法解决几何问题的“三步曲”，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示向量与平面几何中的联系、理解向量的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。四、教学目标分析1、知识与技能：能够用向量的线形运算和数量积解决平面几何的平行，垂直，长度，夹角等问题，能用向量平行和垂直的条件解决直线的方向向量的问题2、过程与方法：经历用向量的方法解答平面几何中的平行、垂直、长度与夹角问题的过程，体会向量法在解决平面几何问题的优越性。3、情感，态度与价值观：用向量方法解决平面几何问题的过程中，培养观察分析、比较和判断的习惯，提高学生的数学解题能力与数形结合能力，提高学生的合作探索意识。五、重难点分析1、重点：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机结合，创设恰当的方法来解决平面几何问题向量法解决几何问题的“三步曲”；渗透数形结合思想，转化思想；提高学生的构造能力和对所学知识的整合能力。 2、难点：向量与几何元素间的转化，如何构造恰当的平面几何图形。 六、教学与学法分析1、教学方法：讲练结合，以练串讲，师生互动。2、学习方法：自主探索，练习为主，合作交流。3、教学手段：使用多媒体教学辅助工具，直尺等。七、教学过程设计（1）复习引入，温故知新：教师：怎么判断两个非零向量垂直，平行？学生：两向量平行：；。 两向量垂直：。设计意图：通过提问，使学生激活沉淀知识，为下一步用向量知识解决几何问题做准备。（2）师生互动，讲解例题：多煤体演示：例1、平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图，。你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？师生分析，得出解题过程：为了简便计算，我们不妨设，则，因为是找线段的长度的关系，所以就是求向量的模，所以有，。因此我们计算与。板书：解：设，所以，。易得：，。又=.同理由+可得：。所以：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。多煤体演示：结论：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量的问题。（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题。（3）把运算结果“翻译”成几何关系。设计意图：设计这道题的目的一是为了让学生发掘出线段的长度与向量的模之间的联系，发现向量与几何元素的关联，让学生体会到数与形的有机结合；二是为了总结出向量法解决平面几何问题的“三步曲”。多煤体演示：例2、我们知道在圆中，直径所对的圆周角是一个直角，现在你能用向量方法来证明这个结论吗？ 师生互动，转化题意：把题目转化为数学语言：如图所示AC是为O的一条直径，ABC为圆周角.求证：ABC90。结合“三步曲”解题：解析：（第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量的问题。）设，。（第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系。）又，。（第三步，把运算结果“翻译”成几何关系。）设计意图：设计这道题的目的是为了提高学生的数学问题转化能力，通过引导使学生能够深刻理解题目，根据题目画出示意图，通过数形结合来解决问题，其次是为了进一步加深学生对向量法解决平面几何问题的“三步曲”的认识。（3）巩固练习，学而致用： 练习1、证明正方形的对角线互相垂直平分。 设计意图：设计这道练习的目的是为了让学生对刚才所学的知识有一个亲身感受的过程，切切实实感受数形结合的魅力所在，让学生亲自动手去做题，去练习，从而达到提高学生解题能力是教学目的。 练习2、利用平面向量证明顺次连结菱形四边中点的四边形是矩形设计意图：这道练习的目的为了增强学生的动手能力，发现问题，探索问题，从而解决问题。加深学生对向量法解决平面几何问题“三步曲”的理解。以上内容都是学生亲自动手练习，把学习时间还给学生，充分体现学生的学习主体形。（4）反思小结，形成新知：先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系。（5）布置作业，巩固新知：用平面向量证明下列定理（1）勾股定理。（2）梯形中位线定理注：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。（6）教学反思：本节“平面几何中的向量方法”是平面几何概念，运算以及数量积应用的第一节课，也是学生开始学习建立平面几何图形演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习对发展学生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。本节课的设计遵循“直观感知操作确认思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识向量在平面几何中的应用，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握平面图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入，让学生用两种语言的表达，动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重两种种语言的表达，对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在先，学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的道理。 四会四会中学胡永基