全国高中数学联赛试题及解析 苏教版4

1984年全国高中数学联赛试题第一试1选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，为常数在复平面上的图形是( ) A射线argZ=2 B射线argZ=2 C射线argZ= D上述答案都不对下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)0的是( ) 对所有满足1nm5的m，n，极坐标方程=表示的不同双曲线条数是( ) A15 B10 C7 D6 方程sinx=lgx的实根个数是( ) A1 B2 C3 D大于3 若a0，a1，F(x)是一个奇函数，则 G(x)=F(x)( +)是 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D奇偶性与a的具体数值有关 若F()=x，则下列等式中正确的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若动点P(x，y)以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点Q(2xy，y2x2)的运动方式是 A以角速度在单位圆上顺时针运动 B以角速度在单位圆上逆时针运动 C以角速度2在单位圆上顺时针运动 D以角速度2在单位圆上逆时针运动 若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上 A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值2填充题(本题满分10分，每小题5分) 如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DCAB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x 时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)内不相同的解有 个第二试1(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明否则给出反例 若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切； 若a0，b0，且a1，b1，则logab+logba2 设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若对任何r0，都有CrACrB，则必有AB2(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)3(本题满分15分)如图，在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PFCA，若SABC=1，证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于 (SXYZ表示多边形XYZ的面积)4(本题满分15分) 设an是12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，试证：0.a1a2an是有理数5(本题满分15分) 设x1，x2，xn都是正数，求证：+x1+x2+xn1984年全国高中数学联赛试题解答第一试1选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，为常数在复平面上的图形是( ) A射线argZ=2 B射线argZ=2 C射线argZ= D上述答案都不对解：由于argZ0.2)，故不存在答案Barg=2，故选D下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)0的是( )解：当0xy2x0；当x1时，得y2x1选D 对所有满足1nm5的m，n，极坐标方程=表示的不同双曲线条数是( ) A15 B10 C7 D6解：由e=C，若表示双曲线，则e1，由C1，可得m、n的不同取值为C=5，C=10，C=4，C=6，C=3，C=2，共有6个不同的值，故选D 方程sinx=lgx的实根个数是( ) A1 B2 C3 D大于3解：作y=sinx及y=lgx的图象，当x10时，lgx1故二者只在(0，10)内可能有交点经作图可知，二者在(0，)内有一交点，在(2，3)内有一交点选C 若a0，a1，F(x)是一个奇函数，则 G(x)=F(x)(+)是 A奇函数 B偶函数 C不是奇函数也不是偶函数 D奇偶性与a的具体数值有关解：G(x)=F(x) ，故G(x)=G(x)，且G(x)的定义域是F(x)的定义域与x|x0，xR的交集，为以原点为对称的区域，故选B 若F()=x，则下列等式中正确的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x解：令t=，得x=，即F(t)=，经一一验证，知F(2x)=2F(x)，选A 若动点P(x，y)以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点Q(2xy，y2x2)的运动方式是 A以角速度在单位圆上顺时针运动 B以角速度在单位圆上逆时针运动 C以角速度2在单位圆上顺时针运动 D以角速度2在单位圆上逆时针运动解：令x=cost，y=sint则2xy=sin2t=cos(2t)y2x2=cos2t=sin(2t)显然2t与t旋转方向相反故选C 若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上 A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值解：定义域为0x，当x=时，F(x)最大，故选D2填充题(本题满分10分，每小题5分) 如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DCAB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x 时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形解：由对称性，先考虑0xa2，即(1x)(1+x)+(1x)2(1+x)2，解得0x2 2x2 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)内不相同的解有 个解：=2kx，x=k，与x=m当0k24时，k=1，2，8；当0m0，b0，且a1，b1，则logab+logba2 设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若对任何r0，都有CrACrB，则必有AB解：若PQl，则只能作出一个圆过P、Q且与直线l相切； 若a1，0b1，则logab+logba2； A=(x，y)|x2+y2r2，B=(x，y)|0x2+y2r2，于是CrACrB恒成立，但不满足AB2(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)解：EF=(证明见课本)3(本题满分15分)如图，在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PFCA，若SABC=1，证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于(SXYZ表示多边形XYZ的面积)证明：如图，三等分BC于M、N，若点P在BM上(含点M)，则由于PEAB，则CPECBACPCB于是SPCE同理，若P在NC上(含点N)，则SBPF若点P在线段MN上连EF，设=r(r)，则=1rSBPF=r2，SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r)2+2(-)2+=于是SAEPF故命题成立4(本题满分15分) 设an是12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，试证：0.a1a2an是有理数解 由于12+22+n2的个位数字只与1到n的个位数字的平方和有关，故只要考虑这些数的个位数字的平方：但121224，329，426，525，626，729，824，921，020(mod 10) a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0由a20=0知，a20k+r=ar(k，rN，0r19，并记a0=0)，即0.a1a2an是一个循环节为20位数的循环小数，即为有理数其一个循环节为“”5(本题满分15分) 设x1，x2，xn都是正数，求证：+x1+x2+xn证明 +x22x1，+x32x2，+x42x3，+x12x1上述各式相加即得