2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第13节 导数的应用(二)

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1 / 7课时作业一、选择题1f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若ab,则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b)Dbf(b)f(a)Axf(x)f(x),f(x)0,f(x)xxf(x)f(x)x22f(x)x20.则函数f(x)x在(0,)上是单调递减的,由于 0a0 时,函数f(x)(x22ax)ex的图象大致是()B利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质由f(x)0 且a0 得函数有两个零点 0,2a,排除 A 和 C;3 / 7又因为f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex, 有(22a)28a0 恒成立,所以f(x)0 有两个不等根,即原函数有两个极值点,排除 D,故选 B.6若函数f(x)2x33x21(x0) ,eax(x0)在2,2上的最大值为 2,则a的取值范围是()A.12ln 2,B.0,12ln 2C(,0D.,12ln 2D当x0 时,f(x)6x26x,易知函数f(x)在(,0上的极大值点是x1,且f(1)2,故只要在(0,2上,eax2 即可,即axln 2 在(0,2上恒成立,即aln 2x在(0,2上恒成立,故a12ln 2.二、填空题7已知函数f(x)是 R R 上的偶函数,且在(0,)上有f(x)0,若f(1)0,那么关于x的不等式xf(x)0,所以f(x)在(0,)单调递增又函数f(x)是 R R 上的偶函数,所以f(1)f(1)0.当x0 时,f(x)0,0 x1;当x0,x1.答案(,1)(0,1)8直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是_解析令f(x)3x230,得x1,可得极大值为f(1)2, 极小值为f(1)2, 如图, 观察得2a2时恰有三个不同的公共点答案(2,2)9(2014广州模拟)设函数f(x)ax33x1(xR R),若对于任意x1,4 / 71,都有f(x)0 成立,则实数a的值为_解析(构造法)若x0,则不论a取何值,f(x)0 显然成立;当x0,即x(0,1时,f(x)ax33x10 可化为a3x21x3.设g(x)3x21x3,则g(x)3(12x)x4,所以g(x)在区间0,12 上单调递增,在区间12,1上单调递减,因此g(x)maxg12 4,从而a4.当x0,即x1,0)时,同理a3x21x3.g(x)在区间1,0)上单调递增,g(x)ming(1)4,从而a4,综上可知a4.答案4三、解答题10已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)求证:当x(1,)时,函数f(x)的图象在g(x)23x312x2的下方解析(1)f(x)x2lnx,f(x)2x1x.x1 时,f(x)0,故f(x)在1,e上是增函数,f(x)的最小值是f(1)1,最大值是f(e)1e2.(2)证明:令F(x)f(x)g(x)12x223x3lnx,F(x)x2x21xx22x31xx2x3x31x(1x) (2x2x1)x.x1,F(x)0.F(x)在(1,)上是减函数F(x)F(1)1223160,即f(x)g(x)5 / 7当x(1,)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方11(2014泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为x元(6x11),年销售为u万件,若已知5858u与x2142成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式;(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润解析(1)设5858ukx2142,售价为 10 元时,年销量为 28 万件,585828k102142,解得k2.u2x214258582x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0;当x(9,11)时,y0.函数y2x333x2108x108 在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的当x9 时,y取最大值,且ymax135,售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元12(2014济南模拟)已知函数f(x)axlnx,其中a为常数,设 e 为自然对数的底数(1)当a1 时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e上的最大值为3,求a的值;6 / 7(3)当a1 时,试推断方程|f(x)|lnxx12是否有实数解解析(1)当a1 时,f(x)xlnx,f(x)11x1xx.当 0 x0;当x1 时,f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,)上是减函数,f(x)maxf(1)1.(2)f(x)a1x,x(0,e,1x1e,.若a1e,则f(x)0,从而f(x)在(0,e上是增函数,f(x)maxf(e)ae10,不符合题意若a0 得a1x0,即 0 x1a,由f(x)0 得a1x0,即1axe.从而f(x)在0,1a上是增函数,在1a,e上是减函数f(x)maxf1a1ln1a.令1ln1a3,则 ln1a2,1ae2,即ae21e,ae2为所求(3)由(1)知,当a1 时,f(x)maxf(1)1,|f(x)|1.令g(x)lnxx12,则g(x)1lnxx2,令g(x)0,得xe,7 / 7当 0 x0,g(x)在(0,e)上单调递增;当xe 时,g(x)0,g(x)在(e,)上单调递减g(x)maxg(e)1e121.g(x)g(x),即|f(x)|lnxx12.当a1 时,方程|f(x)|lnxx12没有实数解
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