全国高中数学联赛试题及解析 苏教版2

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛1选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得2分，不答者得0分) 条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等 条件乙：两个三角形全等 A甲是乙的充分必要条件 B甲是乙的必要条件 C甲是乙的充分条件 D甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 条件甲：=a 条件乙：sin+cos=a A甲是乙的充分必要条件 B甲是乙的必要条件 C甲是乙的充分条件 D甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件 设 (k0，1，2，)， T= AT取负值 BT取非负值 CT取正值 DT取值可正可负 下面四个图形中，哪一个面积大？ AABC：A=60，B=45，AC= B梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75 C圆：半径为1 D正方形：对角线长度为2.5 给出长方体ABCDABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？ A30对 B60对 C24对 D48对 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y0，yx和y2-x这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式txt+1确定，t的取值范围是0t1，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A至多有三个实根 B至少有一个实根 C仅当p24q0时才有实根 D当p0时，有三个实根2(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x35lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2b3(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PCQE+PDQF0，选C 下面四个图形中，哪一个面积大？ AABC：A=60，B=45，AC= B梯形：两条对角线的长度分别为和，夹角为75 C圆：半径为1 D正方形：对角线长度为2.5解：A中三角形面积=(3+)；B中梯形面积=(3+)；C中圆面积=，D中正方形面积=()2=于是B=ADC选C 给出长方体ABCDABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？ A30对 B60对 C24对 D48对解：每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面故共有5122=30对选A 在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y0，yx和y2-x这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式txt+1确定，t的取值范围是0t1，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2解：OAB的面积=1。直角边长为t的等腰直角三角形面积=t2.直角边长为2(1+t)=1t的等腰直角三角形面积=(1t)2f(t)=1t2(1t)2=1t2+t=+tt2( 0t1)选A 对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？ A至多有三个实根 B至少有一个实根 C仅当p24q0时才有实根 D当p0时，有三个实根解：画出y=x|x|及y=pxq的图象：知A、B正确，C、D错误选C、D2(本题15分) 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x35lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2b解：若lg3=2ab，则lg9=4a2b及lg0.27=6a3b2，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确若lg8=33a3c，则lg2=1ac，lg5=1lg2=ac，lg6=lg3lg2=1abc由于此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确于是lg1.5=lg3lg2=(2ab)(1ac)=3abc1与表中lg1.5=3abc矛盾即lg1.5的数值错误若lg2.8=12a2bc，则lg14=lg2.8lg5=(12a2bc)(ac)=1a2b，lg0.021=lg3lg14lg23=(2ab)(1a2b)(1ac)3=2abc3，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确lg7=lg14lg2=(1a2b)(1ac)=2bc，与表中lg7=2a2c矛盾； 表中lg1.5与lg7是错误的，应为lg1.5=3abc1，lg7=2bc3(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证： PCQE+PDQF2 证明：作OMCD，垂足为M，交EF于N，设ON=n，OM=m则CM=DM=，EN=FN=，本题即证(m)( n)+( m)( n)2展开得，mn1移项，平方得，1m2n2m2n22mn 取“+”号时，M、N在点O同侧，此时mn，总之，命题成立(当E、F交换位置时，且CD、EF在点O异侧时，可能有m=n)又证：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF)等号当且仅当PC=QE，PD=QF时成立但由已知，此二式不成立故证4(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完解：已知即：每个甲用 A2，B2， 每个乙用 B1，C1， 每个丙用 A2， C1 共有A产品2p2r2件；B产品2pq1件；C产品qr件设组装m件甲，n件乙，k件丙，则用2m2k件 A； 用2mn 件B； 用nk件 C如全部用完，则有2p2r2=2m2k；pr1=mk 2pq1=2mn； qr=nk ：3p2=3m这是不可能的故证5(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点设BPQ=，求的范围提示：利用入射角等于反射角的原理解：解：只要把这个正六边形经过5次对称变换则击球时应如图所示，击球方向在MPN内部时即可设AB=2，以P为原点，PB为x轴正方向建立直角坐标系，点M坐标为(8，3)点N坐标为(10，3)，即arctan，arctan