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第一章 a. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限1.4 数列极限与函数极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:b. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.4.21.4.2 函数的极限函数的极限 a. 自变量趋于有限值自变量趋于有限值 时函数的极限时函数的极限0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义. 若 ,都有 )(xf0 x0 xx( )fxA则称常数A为 在 处的极限，记作：)(xf0 xAxfxx)(lim0)()(0 xxAxf当或说明: 可类似定义函数的左极限 和右极限 .例1:2(0)yxx222000limlimlim0 xxxxxx0()f x0()f x几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: 在 处的极限是否存在与在 处是否有定义没有关系. )(xf0 x0 x例例2:1 0( )0 xf xx无定义 0 x sin1( ), ( )xf xf xxx定理定理1 （保号性） 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf则存在( A 0 ),(0 x(P20定理1)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则0 x0)(xf,)(lim0Axfxx. 0A)0(A)0)(xf【 左极限与右极限左极限与右极限】左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知函数1( )arctanf xx讨论0 x时)(xf的极限是否存在 .解解:01lim arctan2xx 01lim arctan2xx01lim arctanxx不存在22yx01( )arctanf xx例例5. 讨论 是否存在01limxxoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 进一步讨论 ， 的极限是怎样？xy1XXAAoxy)(xfy Ab. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,( )xf xA当时 有则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线水平渐近线xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 x1x11oyx例例6 反正切函数有两条水平渐近线：机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxfarctan)(.2y内容小结内容小结1. 函数极限的 定义2. 函数极限的性质: 保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,？ )()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3Th1Th3Th2是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束 1, 121,2xxxxa0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(【六种极限过程】 作业作业 P40： 16; 19; 20第四节 目录 上页 下页 返回 结束
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