全国高中数学联赛试题及解析 苏教版16

1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8：009：20)一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=,用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)133 存在整数n,使+是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个4 设x(，0),以下三个数1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)2315 如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不对6 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_3 曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_4 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是_5 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同)6 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_第二试一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，)求数列bn 的前n项和二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0，恒有 （x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。EFABCGHPO1。O2四、（本题满分35分）有n(n6)个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识证明：这n个人中必有三人两两认识1996年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形解：99(y1)2=9(y+1)2，8y220y+8=0，y=2或，相应的，x=0，或x=此三点连成一个正三角形选C2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=，用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13解：n=1536n()，故110作商比较：又，=15363()66361，=1536()78661故选C3 存在整数n,使+是整数的质数( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(kN+)，使+=2k+1故选D4 设x(,0)，以下三个数1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)321 (B)132 (C)312 (D)230，2=sin(cos|x|)0，3=cos(1|x|)0，排除B、D sin|x|+ cos|x|=sin(|x|+)，于是cos|x|sin|x|， sin(cos|x|)cos(sin|x|)，故21，选A又解：取x=，则1=cos，2=sin，3=cos0由于25 如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不对解：g(x)= x+=x+x+3=当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值=，=，p=2，q=+由于10707，即O2HO390，即此圆上还可再放下2个满足要求的点故选B二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10，xN*的真子集的个数是 解 由已知，得logx1011lgx210x100故该集合有90个元素其真子集有290-1个2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_解：z1满足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()设z2的辐角为(06，即k1，k2中至少有一个2，不妨设k12，现任取B中与c连线的一点b1，由于b1与B中其余各点均未连线，若b1与A中的所有与c连线的点均未连线，则b1连线数2+k1k1k1，矛盾，故b1至少与此k1个点中的一点连线故证