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第二章第二章 方程方程( (组组) )与不等式与不等式( (组组) )第第7 7课时课时 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用第一部分第一部分 考点研究考点研究 考点精讲一元一元二次二次方程方程及其及其应用应用一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念及解法一元二次方程根的判别式及一元二次方程根的判别式及根系数的关系根的判别式根系数的关系根的判别式一元二次方程的应用一元二次方程的应用根的判别式根的判别式根与系数的关系根与系数的关系一元一元二次二次方程方程的概的概念及念及解法解法1. 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次数是2.像这样的方程叫做一元二次方程像这样的方程叫做一元二次方程2. 一般形式：一般形式：ax+bx+c=0（a,b,c是常数，是常数，a0）3. 一元二次方程的四种解法及适用题型一元二次方程的四种解法及适用题型一元一元二次二次方程方程的四的四种解种解法及法及适用适用题型题型（1）直接开平方法：形如）直接开平方法：形如(x+m)=n(n0)的方程，的方程，可直接开方求解可直接开方求解（2）配方法：若）配方法：若ax+bx+c=0不易分解因式，可不易分解因式，可考虑配方为考虑配方为a(x+h)2=k，再直接开方求解，再直接开方求解（3）公式法：适用于任何一个有根的一元二次）公式法：适用于任何一个有根的一元二次方程，求根公式：方程，求根公式：（4）因式分解法：可化为）因式分解法：可化为a(x+m)(x+n)=0的方程，的方程，用因式分解法求解用因式分解法求解224402bbacxbaca 根的判别式根的判别式定义：一元二次方程定义：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的情况的根的情况可由可由b2-4ac来判定，我们把来判定，我们把 b2-4ac叫做一元二次方叫做一元二次方程程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的根的判别式一元二次方程一元二次方程240bac240bac240bac 方程有两个方程有两个_的实数根的实数根 方程有两个方程有两个_的实数根的实数根 方程方程_实数根实数根不相等相等没有ax2+bx+c=0(a0)根与系数的关系：方程根与系数的关系：方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是 x1, x2，则，则x1+x2=_,x1x2=_baca1.一般解题步骤：列一元二次方程解应用题一般解题步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程（组）解应用题步骤一的步骤和列一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步样，即审、设、列、解、验、答六步2.一元二次方程的实际应用中两个常见关系一元二次方程的实际应用中两个常见关系一元一元二次二次方程方程的应的应用用增长率等量关系：增长率增长量增长率等量关系：增长率增长量基基础量础量100；利润等量关系：利润售价利润等量关系：利润售价-成本；成本；利润率利润率_一元二次方一元二次方程的实际应程的实际应用中两个常用中两个常见关系见关系100% 利利成成本本润润 重难点突破解一元二次方程解一元二次方程例例1（2015 兰州）解方程：兰州）解方程：x2-1=2(x+1).【思路分析思路分析】先把方程化成一般形式，再进行计算先把方程化成一般形式，再进行计算.解：配方法：原方程可变形为：x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4，整理得（x-1）2=4，解得x1=-1或x2=3. 解一元二次方程需仔细审题，针对题目特点，选择适解一元二次方程需仔细审题，针对题目特点，选择适当的方法简便解出，选择解法的一般顺序是：直接开方法当的方法简便解出，选择解法的一般顺序是：直接开方法因式分解法因式分解法公式法公式法配方法配方法.【一题多解】因式分解法： x2-1=2（x+1），（x+1）(x-1)= 2（x+1）（x+1）(x-1)-2（x+1）=0(x+1)(x-3)=0解得x1=-1或x2=3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式及根与系数的关系例例2（2015 贵港）若关于贵港）若关于x的一元二次方程（的一元二次方程（a-1）x2-2x+2=0有实数根，则整数有实数根，则整数a的最大值为的最大值为( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【思路点拨思路点拨】一元二次方程有实根的条件为一元二次方程有实根的条件为b2-4ac0，代入，代入即可求得即可求得.例例3（2015 黄冈）若方程黄冈）若方程x2-2x-1=0的两根分别为的两根分别为x1，x2，则，则x1+x2-x1x2的值为的值为_.【思路点拨思路点拨】若方程若方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为的两根为x1，x2则则x1+x2= ，x1x2= .bacaB3 解决根与系数关系求代数式值的题需掌握以下方法：解决根与系数关系求代数式值的题需掌握以下方法： 已知一元二次方程的一个根，求某些未知的系数时，已知一元二次方程的一个根，求某些未知的系数时，把方程的根代入原方程，得到一个关于未知系数的方程，把方程的根代入原方程，得到一个关于未知系数的方程，解这个方程即可；解这个方程即可； 已知方程的一个根，求另一个根及未知系数的值：已知方程的一个根，求另一个根及未知系数的值：当已知一次项系数时，先利用两根的和求另一根，再利用当已知一次项系数时，先利用两根的和求另一根，再利用 两根的积求常数项；当已知常数项时，先利用两根的积两根的积求常数项；当已知常数项时，先利用两根的积求另一个根，再利用两根的和求系数；求另一个根，再利用两根的和求系数； 求某些代数式的值常用的变化：求某些代数式的值常用的变化： （1） （2）x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 （3）(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x212121211xxxxx x一元二次方程的应用一元二次方程的应用例例4（2015 东营）东营）2013年，东营市某楼盘以每平方米年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均元的均价对外销售价对外销售.因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每年的均价为每平方米平方米5265元元.（1）求平均每年下调的百分率；）求平均每年下调的百分率；（2）假设）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套一套100平方米的住房，他持有现金平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）解：设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：6500（1-x）2=5265,解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每年下调的百分率为10%；（1）【思路分析思路分析】设平均每年下调的百分率为设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.（2）【思路分析思路分析】如果下调的百分率相同，求出如果下调的百分率相同，求出2016年年的房价，进而确定出的房价，进而确定出100平方米的总房款，与持有现金和平方米的总房款，与持有现金和银行贷款总和相比较即可做出判断银行贷款总和相比较即可做出判断.解：如果下调的百分率相同，2016年的房价为：5265（1-10%）=4738.5（元/m2），则100平方米的住房的总房款为：1004738.5=473850（元）=47.385（万元），20+3047.385，张强的愿望可以实现. 一元二次方程的应用涉及增长率的问题，解决的一元二次方程的应用涉及增长率的问题，解决的关键是理解增长率、下降率、平均增长率的含义，即关键是理解增长率、下降率、平均增长率的含义，即设设a为原来量，为原来量，m为平均增长率，为平均增长率，n为增长次数，为增长次数，b为增为增长后的量，则长后的量，则a(1+m)n=b;当当m为平均下降率，为平均下降率，n为下降为下降次数，次数，b为下降后的量时，则有为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.
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