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第3讲分类讨论思想、转化与化归思想-2-思想方法诠释思想分类应用应用方法归纳从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.-3-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,首先需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.-4-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用一应用一由数学的概念引起的分类讨论由数学的概念引起的分类讨论 例1已知a,b0,且a1,b1.若logab1,则()A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案 D 解析 当0a1得ba.a1,ba1,b-a0,b-10,a-10,(a-1)(a-b)0.排除A,B,C.当a1时,由logab1得ba1.b-a0,b-10.(b-1)(b-a)0.故选D.-5-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释思维升华由数学概念引起的分类讨论有:绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等.-6-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释突破训练突破训练1若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,则实数a的取值范围为. 解析 若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)内单调递增,即函数g(x)=ax2+x在(0,1)内单调递增,当a=0时,g(x)=x在(0,1)内单调递增,符合题意,-7-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用二应用二由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论由数学运算、性质、定理、公式引起的分类讨论 例2设等比数列an的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9,则数列的公比q是()答案 C 解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a10,即得S3+S62S9,与题设矛盾,故q1.化简,得q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因为q1,所以q3-10,则2q3+1=0,-8-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.-9-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释突破训练突破训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则a的取值范围是()A.(-,2B.-2,2C.(-2,2D.(-,-2)答案 C 解析 当a-2=0,即a=2时,不等式为-40,满足题意,所以a=2;当a-20,则a满足解得-2a2,所以a的取值范围是a|-2a2.-10-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用三应用三根据字母的取值情况分类讨论根据字母的取值情况分类讨论 例3已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是()答案 A -11-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释解析 令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a,若a=0,则f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0;若a0,函数单调增,x-,此时f(x)-,不可能恒有f(x)0.若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a,由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a),aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a).-12-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.-13-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释突破训练突破训练3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是()答案 D -14-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释-15-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.-16-16-16-16-思想方法诠释思想分类应用应用方法归纳转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.-17-17-17-17-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.-18-18-18-18-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用一应用一特殊与一般的转化特殊与一般的转化 答案 A -19-19-19-19-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释-20-20-20-20-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.-21-21-21-21-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释突破训练突破训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则 的取值范围是. -22-22-22-22-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用二应用二命题的等价转化命题的等价转化 例2若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为. 答案 16 -23-23-23-23-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释(法二)据已知可设f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,据f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,则f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-(x+2)2-52+16,故最大值为16.-24-24-24-24-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释转化一 若只根据f(x)图象关于直线x=-2对称,得零点对称,条件转化为f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求导完成,恐有因式分解的障碍.转化二 由于函数y=f(x)的图象关于y轴对称,当x取一对相反数时,函数值不变,将函数y=f(x)的图象向左平移2个单位,得函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,当(x+2)取一对相反数时,函数值不变,于是,函数的解析式只能含(x+2)的偶次方.思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几种解题方法.-25-25-25-25-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释答案 D -26-26-26-26-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释-27-27-27-27-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释应用三应用三常量与变量的转化常量与变量的转化 例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围为. 答案 (-1,3) -31-31-31-31-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.-32-32-32-32-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释突破训练突破训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立.令h(x)=1+ln x-x(x1).因为h(x)= -10,所以函数h(x)在1,+)内为减函数.又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.-33-33-33-33-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释且函数h(x)在1,+)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.-34-34-34-34-思想分类应用应用方法归纳思想方法诠释1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的综合题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.
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