初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第2讲 判别式——二次方程根的检测器

第二讲 判别式二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。 (广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约。注：运用判别式解题，需要注意的是： (1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约； (2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A、 B、或 C、 D、思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择。【例3】 已知关于的方程， (1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。 (湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值。注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。 （2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。【例4】 设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。 (重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD，DC，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE，问：这样的点E是否存在?若存在， 这样的点E有几个?请说明理由。 (云南省中考题)思路点拨：要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似，点E必须满足AED+BEC90，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。 注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有： (1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造。判别式二次方程根的检测器学力训练1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= 。2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。 (辽宁省中考题)3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= 。4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为、，B90，那么关于的方程的根的情况为( ) A、有两个相等的实数根 B、没有实数根C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中， A、B、C的对边分别为、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求ABC的周长。(济南市中考题)8、已知关于的方程 (1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值。(盐城市中考题)9、为实数，关于的方程有三个不等的实数根。(1)求证：；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值。 (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 。(2002年四川省竞赛题)11、当= ，= 时，方程有实数根。 (全国初中数学联赛试题)12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是 。13、如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)15、已知ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若a、b、c、d0，证明：在方程；中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。 (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a、b、c满足，abc1，求证：a、b、c中至少有一个大于。18、关于的方程有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题) 19、考虑方程(1)若=24，求一个实数，使得恰有3个不同的实数满足式。(2)若25，是否存在实数，使得恰有3个不同的实数满足式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH，试求的取值范围。参考答案 6