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第 3 讲 抛物线考纲要求考情风向标1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2理解数形结合的思想.通过分析近几年的高考试题可以看出，对抛物线的考查，选择题、填空题、解答题均可能出现，与抛物线有关的解答题通常也是数学高考的压轴题，整个命题过程主要侧重以下几点：(1)能利用定义法或待定系数法求抛物线的方程(2)利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化(3)综合应用抛物线和直线的有关知识，通过直线与抛物线的位置关系解答相应问题.1抛物线的定义平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离_的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_，定直线为抛物线的_相等焦点准线标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点准线范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)离心率e12抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)1抛物线 y4x2 的准线方程是()DAx1By1Cx116Dy1162(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛)A物线的标准方程是(Ax212yCy212xBx212yDy212x3(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程 x2，)则抛物线的方程是(Ay28xCy28xBy24xDy24x4在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上的点 P到该抛物线的焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标为_.55抛物线 y28x 的焦点坐标是_(2,0)C考点 1抛物线的标准方程例 1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m)到焦点距离为 5，则抛物线标准方程为()Ay28xCy24xBy28xDy24x解析：已知抛物线焦点在x 轴上，其上有一点为P(3，m)，显然开口向左，设 y22px，由点 P(3，m)到焦点距离为5，准方程为 y28x.答案：B(2) 焦 点 在 直 线 x 2y 4 0 上 的 抛 物 线 标 准 方 程 为_，对应的准线方程为_答案：y216x(或 x28y) x4(或 y2)【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解【互动探究】1(2012 年四川)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|()B考点 2 抛物线的几何性质例 2：已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析：由抛物线的定义知，点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点的距离之和显然，当 P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得答案：A【方法与技巧】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直(三点共线)时，其和最小.当直接求解，怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.【互动探究】2已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A2B3C.115D.3716解析：直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知，点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线 y24x 上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线 l1：A考点 3直线与抛物线的位置关系点上(1)求抛物线 C2 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E，F 两点，又过 E，F 作抛物线 C2 的切线 l1，l2，当 l1l2 时，求直线 l 的方程【互动探究】3(2012 年北京)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F.且与该抛物线相交于 A，B 两点其中点 A 在 x轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为_.思想与方法利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题例题：AB 为过抛物线焦点的动弦，P 为 AB 的中点，A，B，P 在准线l的射影分别是A1，B1，P1.在以下结论中：FA1FB1；AP1BP1 ；BP1 FB1；AP1 FA1.其中，正确的个数为()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：如图 12-3-1(1)，AA1AF，AA1FAFA1，又AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1F B190，故 FA1FB1.为直角三角形，故 AP1BP1.如图 12-3-1(3)，BB1BF，即BB1F 为等腰三角形，PP1PB，PP1BPBP1.又 BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即 BP1 为角平分线，故 BP1FB1.如图 12-3-1(2)，PP1AA1BB12AFBF2AB2，即AP1B如图 12-3-1(4)，同有 AP1FA 1.综上所述，都正确故选 D.(1)(2)(3)(4)图 12-3-1答案：D【审题关键点】要充分利用抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，能得到多个等腰三角形.利用平行线的性质，得到多对相等的角，要充分利用平面几何的性质解题.
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