07偏导数全微分

高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1 1一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法第二节第二节 偏导数偏导数0000000(,)(,)lim,xxxyyf xx yzfyxxx 多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。定义定义0000,(,)xxxyyffxyx 0000000(,)(,)lim,xxyyyf xyyf xzyyy 0000,(,)yxxyyffxyy 引例引例: : 研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度,就是就是将振幅将振幅求求u(x0, t)关于关于 t 的一阶与二阶导数。的一阶与二阶导数。u(x, t)中的中的 x 固定于固定于x0 处处,高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2 2偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图00(,)xyx0y0yxz0 xyToxT0y0M(x0, y0, 0)高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3 3几何意义几何意义 f x(x0, y0)是曲线是曲线 在点在点(x0, y0, z0)处的切线沿处的切线沿x轴的斜率。轴的斜率。0( , )f x yzyy f y(x0, y0)是曲线是曲线 在点在点(x0, y0, z0)处的切线沿处的切线沿y轴的斜率。轴的斜率。0( , )f x yzxx 偏导函数偏导函数0(, )( , )lim,xf xx yf x yxxz 0( ,)( , )lim,yf xzyyf x yyy ,( , )xffx yx ,( , )yffx yy 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4 4偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx0(, , )( , , )( , , )limxxf xx y zf x y zfx y zx 0( , )( , , )( , , )limyyf x yy zf x y zfx y zy 0( , ,)( , , )( , , )limzzf x y zzf x y zfx y zz 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六5 5例例设设22( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yxyf x yx y 求求f (x, y)的偏导数。的偏导数。00dd(0,0)( , 0)0;(0,0)(0,)0ddxyxxff xffyxy 解解高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六6 6偏导数存在、连续、极限存在的关系偏导数存在、连续、极限存在的关系f (x, y)在在(x0, y0)偏导数存在偏导数存在f (x, y)在在(x0, y0)连续连续f (x, y)在在(x0, y0)极限存在极限存在 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)极限不存在，极限不存在，例如例如在在(0,0) 不连续，不连续，(0,0)(0,0)0 xyff但。但。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六7 7),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为二、高阶偏导数二、高阶偏导数高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六8 8问题：问题： 混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？例例322( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)x yx yf x yxyx y 设设求二阶混合偏导数。求二阶混合偏导数。解解,)0 , 0(),(时时当当 yx242222232( , )()xx yx yfx yxyxy332222222( , )()yxx yfx yxyxy高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六9 9,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0. 1 ).0 , 0()0 , 0(yxxyff 显然显然高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六101022220zzxy2222220uuuxyz2221,urxyzr 例例9 证明函数证明函数 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程22lnzxy 例例8 证明函数证明函数 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六11 11内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1212思考与练习：思考与练习：设设z = f (u) ，方程方程( )( )xyuup t dt 确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,( ), ( ), ( ),( )f uup tu 其其中中可可微微连续连续, 且且( )1,( )( )zzup yp xxy 。求求：( )ufux ，解：解：zx ( )zufuyy ( )( )uuup xxx ( )( )uuup yyy ( )1( )up xxu ( )1( )up yyu ( )( )( )0uufup yp xxy ( )( )zzp yp xxy 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1313作业作业P63 5（1）（）（3）（）（5）；）；6 （1）（）（3）（）（5）；）； 7,（1）；）； 8； P69 3；4；5； 6（2）（）（3）；）；7；8； 9（2）高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1414),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(第三节第三节 、全微分的定义、全微分的定义一、全微分的概念一、全微分的概念1. 回忆：一元函数的微分回忆：一元函数的微分2. 二元函数的二元函数的偏增量偏增量与与偏微分偏微分应用应用 ()yA xox d( )yfxx 近似计算近似计算估计误差估计误差中值定理：中值定理：(, )( , )(, ), (01)xf xx yf x yfxx yx ( ,)( , )( ,), (01)yf x yyf x yfx yyy 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六15153.二元函数的二元函数的全增量全增量与与全微分全微分(,)( , )zf xx yyf x y 全增量全增量例例1 1求求 在在(x,y)和和(1,1)的全微分的全微分22zxy)( oyBxAz 22)()(yx 其中其中全微分定义（略）全微分定义（略）则则 称为二元函数在称为二元函数在(x,y)的的全微分全微分。dzA xB y 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关。有关。若若z=f(x,y)在区域在区域D内处处可微分，则称内处处可微分，则称z=f(x,y)在在D内可微分内可微分。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1616注：注：1. 类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点： （1）dz是是z的线性主部；（的线性主部；（2）误差为）误差为o( )2. 函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微 函数在该点连续。函数在该点连续。3. 几何意义：几何意义：函数函数 z = f (x, y) 在在 (x, y)点可微点可微 曲面曲面z = f (x, y)在在 (x, y)点切平面存在。点切平面存在。00lim(,)( , )xyf xx yyf x y 由微分定义由微分定义 : 000limlim ()()0 xyzA xByo 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1717二、可微分的条件二、可微分的条件证明：证明：(,)( , )()zf xx yyf x yA xB yo (, )( , )()xzf xx yf x yA xox 0lim,xxzzAxx ,zBy dzzzxyxy定理定理1 1（必要条件）（必要条件）如果函数如果函数z=f (x, y)在点在点(x, y)可微，则该函可微，则该函数在点数在点(x, y)的偏导数的偏导数 存在，且存在，且z=f (x, y)在点在点(x, y)的全的全微分为微分为: 。yzxz 、ddzzzzdzxyxyxyxy 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1818注意：注意：定理定理1 1的逆定理不成立，的逆定理不成立，即即: 偏导数存在不一定可微偏导数存在不一定可微!反例：反例：2222220( , )00 xyxyxyf x yxy )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 22()()xyxy 则则 22)()(yxyx 22()()xyxy 12xy ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六1919证明：证明：),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ( ,)( , )f x yyf x y 12(0,1)( ,)( ,)xyfx yxfx yy12(,)( ,)xyfxx yyxfx yyy 0000lim0,lim0 xxyy 其其中中高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2020( , )( , )xyzfx yxfx yyxy xy 00 ( ,)( ,)()xyzfx yxfx yyo 例例2 计算函数计算函数的全微分。的全微分。sin2yzyuxe高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2121(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)dyyzffxfyfz例例3 设设(0,0,0)coscoscos( , , ),d1coscoscosxyyzzxf x y zfxyz 。求求解解: : ( ,0,0)3cosxf xx 1(0,0,0)3cos04xxfxx 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 可得：可得：1(0,0,0)(0,0,0)4yzff1(ddd )4xyz高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2222证明：证明：（1） 令：令：,cos x,sin y则则22)0, 0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 (0,0)f ?高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六23232222232211sincos,( , )(0,0)( , )()0,( , )(0,0)xx yyx yfx yxyxyxyx y 33( , )(0,0)011lim( , )limsincos2 |2 2 |2 |xx yxxyxfx yxxxx 令令（2）不存在。不存在。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2424(,)(0,0)ffxyf 221sin()()x yxy 220( ()() )foxy (0,0)d0f 。且且22220022221sin()()()()0()()()()xyx yxyxyxyxy 注注: : 此题表明此题表明, , 偏导数连续只是可微的充分条件。偏导数连续只是可微的充分条件。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2525内容小结内容小结1. 微分定义微分定义:22( , )( , ) ( )()()xyzfx yxfx yyoxy 其其中中：d( , )d( , )dxyzfx yxfx yy2. 重要关系重要关系:偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2626课外作业：课外作业：高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2727全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2828例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六2929一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3030 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3131六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3232一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3333 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. .五、五、223231, 0yyxzyxz . .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3434七、七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3535不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3636不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3737观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3838观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六3939观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4040观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4141观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4242观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4343观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4444观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4545观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4646观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022年1月22日星期六4747观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.