数学试题设计与复习备考

数学试题设计与复习备考一、对数学复习备考的认识1、 备考复习是较为艰巨的过程2、 复习中有一种不正确的观念：总认为学生学习不得力，教师用做题的方式来强化学生的学习。认为高考题不好琢磨，常考常新。无论是学生还是高考命题，这都不是主要原因，其实在高考复习过程中，教师才是关键。道理很简单：只有教师了解全部考试内容，知道主干和一般原则，懂得工具的使用和如何思考问题；教师备考资源比较丰富，明白解决问题的策略，且具有创造性的本能；教师基本知道考试的方向。在复习中，教师的具体作用在哪里？在了解学生的基础上组织复习；如何使自己知道的交给学生也能知道；如何对数学问题进行组织这是最重要的。2、研究复习备考，需不需要关注考试信息？要围绕“猜”、“压”做文章的心理。其实这些不重要，高考不仅是在考学生，同时也是在考老师。备考研究主要研究三个方面：一是备考的指导思想，即通过分析考题和学生现状，搞清楚如何组织复习，这是思想性的。二是备考的策略交流分享，了解大环境下的备考形势，便于在自己的备考过程中进行完善。三是在问题选择上进行探讨，如何用最少的问题来获得复习的高效益。试题内容选择心理：心理原则一：选择的内容必须具有代表性，选择实际上意味着“强调”。努力使试题都是若干可共选择的同类试题中的代表，出一道好题应具有“纲举目张”的功能，使整个体系抖动起来。心理原则二：选择的内容必须是重点，选择实际上意味着“强化”。努力使试题能找到实际教学的影子。心理原则三：选择的内容应是有利于学生巩固和加工经验。选择实际上意味着“诚信”。基础复习有三个遵循原则：原则一：改错辩证地看，学习的意义在于做错了题，只有错题才能反映学习过程中的不足。原则二：研究要研究典型题。选择的题都要深入思考，找到一类题共同的考点。原则三：纠偏补短就是让头脑中有完整的知识网络。要在知识点间建立联系，形成知识网络。3、复习不是炒现饭。要在原有基础上加工、改造，是具有造血功能的过程。“复”指又、更、再的意思，也指还、返的意思，复习不是重复的学习，而是具有加工、改造的学习。要利用数学本身的逻辑性、抽象性和学生反映的错误性作为主要备考资源。逻辑性：语言的准确转译和数学问题的科学表征；抽象性：具有概括、联系、创新的功能。错误性：由学生思维惯性引起。“观察、联想、变换”是解题的本质，其中“变换”是关键。复习中组织恰当的问题让学生进行经验的改造，不仅摆脱了题海，少做多获，更是效率的保证。正如波利亚所说：一个专心备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题,就好像一道门，把学生引入一个完整的理论领域。二、对数学高考的认识这些年高考题已形成了一些稳定的风格：结构稳定：三大题型格局不会改变，题型、题量、分值基本稳定，实测难度大都控制在0.60左右。重点突出：突出五大能力和两个意识，突出数学主干和数学思想方法，突出数学与现实生活的联系。技术成熟：以考试说明为依据，不拘泥于教材，在知识交汇处设计命题，能力立意，难度稳定，增加思考时间。对选、填、解的设计从易到难出现3个小高潮，试题切入容易但深入难，大题几乎都是阶梯题。选择题的特点：概念性强，术语、符号、习惯用语都有明确具体含义。量化突出，定量试题比例较大，计算中蕴含了对概念，原理，性质和法则的考查。充满思辨性，源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。填空题特点：短、小、灵，考查目标集中。解答题特点：考点目标较多，综合性强，难度较高。总体上突出通性通法，淡化特殊的技巧，基本上没有思路比较狭窄和有歧义的试题，起点低落点高。高考试题难度呈现的特点1、阅读量较大：(2011粤理21题)已知抛物线C:4y=x2,实数p、q满足p2-4q0,x1,x2是方程x2-px+q=0的两根，记6(P,q尸max|x1|,|x2|.过C上横坐标为p0(w0)的点A作C的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p,q),有6(p,q)=|p0|/2;设M(a,b)是定点，其中a、b满足a2-4b0,aw0.过点M作C的两条切线11,12,切点分别为E(p1,y1),E/(p2,y2),l1,l2与y轴分别交于F,F/.线段EF上异于两端点的点集记为X,证明：M(a,b)CX等价于|p1|p2|等价于6(a,b)=|p邛2;设D=(x,y)|y(x+1)2/4-5/4,当点(p,q)取遍D时，求6(p,q)的最小值(记为。min)和最大值(记为()max).2、变量较多：(2014年粤理7题)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l1l2,l2l3,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1/l4C.l1,l2既不垂直也不平行D.l1,l2的位置关系不确定3、证明艰涩：(2010年粤理21题)设人(*11),B(x2,y2)是平面直角坐标系xoy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为p(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1,对于平面xoy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2，y2)若点C(x,y)是平面xoy上的点，试证明：p(A,C)+p(C,B)p(A,B);(2)在平面xoy上是否存在点C(x,y),同时满足p(A,C)+p(C,B)p(A,B)p(A,C尸p(C,B)若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。4、问题抽象：(2013年粤理8题)设整数n4,集合X=1,2,3,n。令集合S=(x,y,z)|x,y,zCX,且三条件xyz,yzx,zx2)个不同排列P1P2Pn中，若1wiwjwm时，PiPj(前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。记排列(n+1)n(n-1)321的逆序数为an。如21的逆序数a1=1;4321的逆序数a3=6。求a4,a5和an;令bna-a,证明：2nbb2Lbn2n3an1an本题以高等代数的逆序概念为背景，取其特殊情形，考查数列、不等式等知识和基本推理运算。对于给定高等数学中的某个数学概念的初等定义问题，要在理解定义的内涵和外延上下功夫，通过定义对命题作出判断三、初等数学高等化：对任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d。运算。为：(a,b)O(c,d)=(ac-bd,bc+ad)运算为：(a,b/(c,d)=(a+c,b+d)设p,qCR,若(1,2)O(p,q)=(5,0),则(1,2)X(p,q)=()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)运算结果p=1,q=-2,选B。以抽象代数中运算系统为背景，要求考生理解新的规定和算理并做出合理的推理。初等数学高等化要求考生运用初等知识解决高等数学语言描述的初等问题，要细心阅读、深刻理解给定的规定，要抛弃原有的知识局限，作出合乎要求的操作。三、数学题设计策略（一）数学问题设计举例1、角度原则：圆O：x2+y2=r2（r0）和直线l:kx-4y+m=0。若m=10,k=3,圆O上仅有两个点到直线l的距离为1,求r的取值范围。若m=10,k=3,圆O上仅有三个点到直线l的距离为1,求r的取值范围。若m=10,k=3,圆O上仅有四个点到直线l的距离为1,求r的取值范围。若r=2,k=3,圆O上仅有四个点到直线l的距离为1,求实数m的取值范围。若r=2,k=3,直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆。有公共点，求实数m的取值范围。若r=2,m=16,直线l上至少存在一点使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆O有公共点，求实数k的取值范围。把圆中“形”的概念转译到数的推理中，强化认识的增值。2、加固原则问题1：数列an是公差不为0的等差数列，an的部分项组成的数列恰为等比数列，如果k1=1,k2=5,k3=17,求kn。巩固基本数列概念，拓展思维空间，融知识与方法之中，训练转化能力。问题2：各项都为正数的等差数列an的公差不为0,设a1,a3,a7是公比为q的等比数列bn的前三项，若首项a1=2,将数列an与bn中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn,设其前n项的和为Sn，求2n1n1S2nn123g2的值。易知an=n+1,bn=2n,数歹Ucn前2n-n-1项的和正好是数列an前2n-1的和减去数列 bn前n项的和，余下的项正好是（2n-1）-n=2n -n-1,S3 2n n 1(2 n 1 )(22 n )22( 12 n )12所以加大经验改组水平，体验数学活动经验的获得，训练表征能力3-概括原则一一曲线中定值、定点问题（难点）问题1:在圆中，直径所对圆周角是直角，那么两直角边所在直线的斜率乘积为-1。在椭圆中，过中心的弦交椭圆于A、B,P是椭圆上异于A、B的任意点，那么PA,PB所在直线的斜率乘积是多少？可以证明：kpagkpba（当e=0时，是圆，将b2换成-b2就是双曲线问题）提供经验对比，创设发现新经验的活动环境.PA（P在第一象限），过P作问题2：（江苏2011年理18题）：设M、N是曲线2x2+4y2=8的左顶点、下顶点，过中心的弦为x轴的垂线，垂足为C,直线AC交椭圆于B,设直线PA的斜率为k,当直线PA平分线段MN时，求k的值；当k=2时，求点P到直线AB的距离；对任意的k0,求证：PAXPB.【3问：设P(x,kx),则C(x,0),A(-x,-kx),因为PA是直径，所以kBPkBA=-0.5,而kBA=kAC=0.5k,所以kPAkPB=-1】巩固发现成果，在具体活动中增强数学活动的兴趣。3、“显函数”与“隐函数”相关变量一一主变量与相关变量问题1:(2013山东理)正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,212当里取最大值时，求工一三的最大值。Z【分离变量，z=x2-3xy+4y2,再利用基本不等式，转化为单变量y的函数，求得最大值为1】问题2:设点P在椭圆x2+2y2=4上，求x+y的取值范围。?表征1?表征2?表征3用参数方程；转化为求只需截距范围;由柯西不等式x2（、2y）212.222丁iy）(二)数学复习题的设计策略(5个增长点)1、从课本问题及知识间联系的角度寻找试题增长点问题1:向量a=(x,1),b=(4,x),且两向量的夹角为兀，则x=()这是人教A数学4119页A组8题的改编。把显性条件“共线且方向相同”换成了隐性条件“向量夹角为兀”，从而既考查了共线性质，又考查了夹角概念。问题2:集合M=4,3,1,0,-1,记M的所有非空子集为Mj,每个Mj中所有元素的积记作mj,j=1,2,，31,则m1+m2+m31=(-1)把集合概念与运算概念结合起来，考查子集概念和抽象思维能力。-1的运用是隐含条件。问题3:实数x,y满足x2+y2+xy=1,x+y最大彳I是()(2011浙江文16题)2(xy)2常规思路1：基本不等式：(xy)1xy1-4常规思路2：切线法：令m=x+y,则x2-mx+m2=1,由判别式=0求得。新思路1:方程法：令m=x+y,则xy=m2-1,所以x,y是方程t2-mt+m2=1的根，所以判别式0。新思路2:基本不等式：2xyWx2+y2,3xyx2+y2+xy=1,3(x+y)2=3+3xy0)在区间a,b上是增函数，且最大值是函数g=Mcos(cox+6)在区间a,b(A)(全国统考题)A.可以取最大值MB.是减函数C.是增函数2、从学生思维习惯及分析问题角度寻找试题增长点问题1:曲线切线方程认识方法过点(1,0)与曲线y=x3相切的切线方程是()常规思路认为：在切点附近， 曲线可能认为y=0不是切线方程，因为这条直线穿过了曲线,应在切线的同侧。常规思路：设切点为A(t,k),则斜率为3t2,在过A点的切线方程中，将点(1,0)带入可求得t值唯一，故切线只有一条。这里引入两个问题：直线x=0也穿过曲线，为什么x=0不是切线？过原点的直线有无数条，为什么只有y=0是切线？(帮助学生理解f/(0)=0,斜率唯一)。举例让学生进一步理解：求y=cosx在x=0.5n+kn处的切线方程。问题2：多个变量三角问题认识设a邛为锐角，cos(a+3尸sin(a-(3),求tana。常规思路：通过和角公式展开，推出：sina=cosa思路改进：因为只要cosx=siny,就只需x+y=0.5u,所以只要a+(3+a-3=0.5兀即可。也即a=兀/4。问题3:函数f(x)由分段函数表示，当x0时，f(x)=x2+1,当xf(2x),则x的范围是()常规思路：分段讨论或作出图像观察运算。但就是这个思维习惯影响了思维发展，事实上，当1-x20时，2xv0是存在的.3、从学生经验性思维巩固及形成整体经验结构的角度寻找试题增长点问题1:几何中最值问题的认识已知圆O:x2+y2=1,点P在直线x+3y-8=0上，过P作圆的切线PA,PB,切点为A,B,则四边形OAPB面积的最小值是()两个基本思路：P在直线上，设出P点的坐标，OP的长可用P点坐标参数表示，由于Soapb=2SAOAP,再根据二次函数求最值。设OP=t,则S可用t表示，只有OPL直线时，t最小。这两个思路不足以完善学生的经验思维，可引入问题：求向量PA、PB的数量积的最小值。数量积变化的本因是线段OP长度的变化，设OP=t,ZAPO=0,则tsin0=1,cos20=1-sin20,于是llim.in八八ucuuuu2222因为问题中根据函数的单调性知，仅当这个结论是错误的，原因就是等严 否成立，事实上等号不成立，的4后，t蚯坟,+ )t5：,4V10时，可求最小值。t PAgPB(t1)(1/)t32.235引申：已知圆O:x2+y2=1,点P(t,k)在直线x+3y-4=0上，点A在圆上，/OPA=30,求k的取值范围。2。这是对经验性思维的一种上升。b21思维难度在于不知如何下手，条件中，点A在圆上的深层次白含义是直线PA与圆相交，因此点。到PA的距离就不大于1,从而OP长度就不小于问题2:注重联系与联想直线bx+ay=ab过点M(cosa,sina),证明:常规思路：点在单位圆上，所以直线与圆有交点,1联想1：由一cosa1.-sinb圆心到直线距离不小于1,联想到三角中合一变换(三角辅助公式)；联想2:由再由基本不等式:代换得证。联想3向r1一cosa2LTmi.一sinbcosisina2cos八cossin2bcos2b2mgn.2sinasin2，.、TJ1、（cos）sin）n（一）二）abm|n即可得证。问题3:强化经验将A=10a2+81a+207,B=a+2,C=26-2a进行适当排列，再分别取常用对数，构成公差为1的等差数列，求实数a的值。在改造经验方面：如何翻译问题；作为真数，需要确定a的取值范围；进行排列的数学含义，需要比较A,B,C的大小，在比较中要用到二次函数性质，并将a的范围分成两个子区间；分别在子区间上应用等差数列的性质。问题4：在对比中加固思维已知x2+px+12x+p,xC2,4时，不等式恒成立，求p的取值范围；|p|W2时，不等式恒成立，求x的取值范围。第一问：常规思路1:函数法，研究函数f(x)0,借用对称轴进行分类讨论；比较复杂(通法)常规思路2:分离变量，因为x1,所以p1-x,求其最大值。启示：图像法，原不等式化为：(x-1)2-px+p,作两函数图像，p0,得(-px+p)|x=2v1;pv0,得(-px+p)|x=2-(x-1)2.x1,p-x+1，只需1-xv-2,所以x3;xv1,pv1-x,只需1-x2,所以xv-1。启示2:讨论，把不等式看成方程，有两个根1,1-p,对根进行比较1-p0,即pC2,)，所以xv1或x1-p|max=3;1-p1或xv1-p|min=-1;1-p=0,此时xw1。取交集：xv-1或x3。4、从高考试题比较及考试说明要求的角度寻找试题增长点问题1:(2008福建理)：已知向量m=(sinA,cosA),irrn=(J3)-1)，mgn1，A为锐角.求角A；求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(xCR)的值域。在此基础上课增加:右,COS(A)=一,求cosa问题2:(2060全国卷35抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相较于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D,证明：点F在直线BD上。改编：抛物线C:y2=2px(p0)上两点P、Q关于x轴对称，点M(m,0)(mw0)是x轴上一点，直线PM与C的另一个交点为R,证明：直线QR经过x轴上一个定点N。问题3:(2010广东理20题):双曲线x2-2y2=2的左右顶点为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是曲线上不同两点。求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；过点H(0,h)(h1)的两条相互垂直的直线与轨迹E只有一个交点，求h的值。问是轨迹转移问题，通过解方程沟通新旧轨迹的联系，通过旧轨迹转移得出新轨迹.只要找到直线A1P与A2Q交点即可,P,Q不同的含义是y1w0,|x1|a。进行轨迹的转移得到椭圆的轨迹(除去四个顶点)。第二问中为什么要规定h1?因为轨迹E是椭圆(四个顶点除外)，所以直线与E只有一个交点，这个交点就是切点，于是可设点斜式方程，与E方程联立转化为二次方程，令判别式为0,就得到关于这条直线斜率的二次方程，这个方程两根的积等于-1,可求ho由此可以做这样的推广：把双曲线换成一般标准型，且第二问中将h1换成hbo这就是2014广东理20题的背景题。5、从推陈出新来增强知识通性规则的角度寻找试题增长点问题1:椭圆方程推导再认识由(J(xc)2y2,1(xc)2y2，2a可设：(xc)2y2ad,-.(xc)2y2ad两式平方相减、相加，分别得到：ad=cx,x2+y2+c2=a2+d2,消去d即得到椭圆方程。问题2:等比数列求和公式再认识将和式两边同时乘以q,再根据定义得qSn=a1q+a2q+anq=a2+a3+an+anq,用和式减去这个式子得到：(1-q)Sn=a1-anq。另：外根据定义后项比前项等于常数q,再根据比例性质得a 2 a3ai a 2an 1SnaiSnan还可以由定义出发:a 2 aiq, a3 a 2q ,L , a n a2 a3 L an q (aia n iqa 2 Lan 1 )得到：Snaiq(Snan)问题3:抽象函数再认识函数f(x)满足f(0)=i,且对任意x,yCR,f(xy+i)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,求f(x)表达式。特殊值：令x=y=0,f(i)=2,又f(0)=i,猜想：f(x)=x+i再令y=i,有f(x+i)=2f(x)-x,设f(x)为一次函数，采用待定系数法，求得f(x)=x+i根据对称性，将已知式中的x,y对换后，两式相减得：f(x)+y=f(y)+x,令y=0即得。根据上面关系可构造数列：数列an中，ai=2,an+i=2an-n,求通项an.直接推导比较困难，先猜想an=n+i,再数学归纳法证明。四、备考复习对策第一，抓基本概念、基本公式、基本定理的巩固i-函数零点概念一一三个视角组织方程的根，(20i2湖北)求函数f(x)=xcosx2在区间0,4上零点的个数；函数图像与x轴交点的横坐标，(2009天津)研究函数,if(x)-xlnx(x0),3在区间(e-i,i),(i,e)内的零点。两函数图像的交点横坐标，(20i3天津)设f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,比较f(b)与g(a)的大小。强化：证明：f(x)=3ax2+2bx+b-a(a,b不同日为0)在(-i,0)内至少有一个零点。【考查端点，不成功，需取分点.如f(-i)=2a-b,f(-0.5)=-0.25,f(0)=b-a,有f(-i)-f(-0.5)=-0.5a2+0.25ab,f(-0.5)-f(0)=0.25a2+0.25ab,当a=0,x=-0.5,aW0时，两式相减v0,说明总有一式v0;也可以取分点-i/3;还可以设出零点t,当a=0时，t=-0.5,aw0时，分a0,av0推出】