数学第七章 数列与数学归纳法 第1节 数列的概念及简单表示法 理

第第1节数列的概念及简单表示法节数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的概念(1)数列的定义：按照_排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为_的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是_、图象法和_.知知 识识 梳梳 理理一定顺序项定义域列表法通项公式法2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_无穷数列项数_按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN*递减数列an1_an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.序号nS1SnSn1常用结论与微点提醒1.一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，的通项公式为ann；(2)数列2，4，6，8，的通项公式为an2n；(3)数列1，2，4，8，的通项公式为an2n1；(4)数列1，4，9，16，的通项公式为ann2；2.已知递推关系求通项一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)一个数列中的数是不可以重复的.()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的.(3)不是所有的数列都有通项公式.答案(1)(2)(3)(4)2.设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A.15 B.16 C.49 D.64解析当n8时，a8S8S7827215.答案A3.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()答案C4.已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_.解析因为an是递增数列，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)5.(2018台州月考)在数列xn中，x110，xnlog2(xn12)，则数列xn的第2项是_，所有项和T_.解析x110，xnlog2(xn12)，x2log2(x12)log283，x3log2(x22)log210.数列xn所有项的和为103013.答案3136.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.解析a11，a261515(21)，a31115215(31)，a41615315(41)，an15(n1)5n4.答案5n4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.考点二由Sn与an的关系求an(易错警示)【例2】 (1)(2017温州市十校联考)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.解析(1)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，an2n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式.【训练2】 (1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.解析(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式.考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.(2)(2018衢州质检)在数列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，则通项公式an_.解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.