资源描述
知识点知识点1 1 圆及圆的有关概念圆及圆的有关概念1.1.圆：平面上到定点的距离等于圆：平面上到定点的距离等于_的所有点组成的图形叫的所有点组成的图形叫作圆作圆. .其中，定点称为其中，定点称为_，_称为半径称为半径. .定长定长圆心圆心定长定长2.2.与圆有关的概念与圆有关的概念: :（1 1）弧：圆上任意）弧：圆上任意_的部分叫作圆弧，简称弧的部分叫作圆弧，简称弧. .其中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧其中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧. .（2 2）弦：连接圆上任意两点的）弦：连接圆上任意两点的_叫作弦叫作弦. .（3 3）直径：经过）直径：经过_的弦叫作直径的弦叫作直径. .（4 4）弦心距：圆心到弦的距离叫作弦心距）弦心距：圆心到弦的距离叫作弦心距. .两点间两点间线段线段圆心圆心知识点知识点2 2 圆的有关性质圆的有关性质1.1.圆的对称性圆的对称性: :（1 1）圆是轴对称图形，其对称轴是）圆是轴对称图形，其对称轴是_的直线，的直线，有有_条对称轴条对称轴. .（2 2）圆是中心对称图形，对称中心为）圆是中心对称图形，对称中心为_._.（3 3）圆具有旋转不变性，即圆围绕着它的圆心旋转）圆具有旋转不变性，即圆围绕着它的圆心旋转_，都能与原来的图形重合，都能与原来的图形重合. .过圆心过圆心无数无数圆心圆心任意角度任意角度2.2.垂径定理及推论垂径定理及推论: :（1 1）垂径定理：垂直于弦的直径）垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且这条弦，并且_弦所对的两条弧弦所对的两条弧. .（2 2）推论：平分弦的直径）推论：平分弦的直径_于弦，并且于弦，并且_弦所对的两条弧；弦所对的两条弧；平分平分平分平分垂直垂直平分平分弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对，并且平分弦所对的两条弧；的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且_另一条弧另一条弧; ;圆的两条平行弦所夹的弧圆的两条平行弦所夹的弧_._.圆心圆心平分平分相等相等3.3.圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系: :（1 1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦，所对的弦_._.（2 2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别量都分别_；弧的度数等于它所对的圆心角的度数弧的度数等于它所对的圆心角的度数. .相等相等相等相等相等相等4.4.圆周角定理及推论圆周角定理及推论: :（1 1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于这条弧所对的圆心角的，都等于这条弧所对的圆心角的_._.（2 2）推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧）推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；9090的圆周角所的圆周角所对的弦是对的弦是_._.相等相等一半一半相等相等直径直径5.5.圆内接多边形的性质圆内接多边形的性质: :（1 1）圆内接三角形：三角形各边垂直平分线的交点叫外）圆内接三角形：三角形各边垂直平分线的交点叫外心，也是圆心；外心到三角形各顶点的距离相等心，也是圆心；外心到三角形各顶点的距离相等. .（2 2）圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补；任意一）圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补；任意一个外角等于它的内对角个外角等于它的内对角. .【名师指点】本考点主要考查圆中弦所对的圆周角与圆心名师指点】本考点主要考查圆中弦所对的圆周角与圆心角之间的大小关系，即同弧或等弧所对的圆周角的度数是角之间的大小关系，即同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半圆心角的一半. .在同一个圆中，一条弧可能对应几个角，利在同一个圆中，一条弧可能对应几个角，利用圆周角定理把这些角联系在一起，相互转化是解题的关用圆周角定理把这些角联系在一起，相互转化是解题的关键键. .考点考点1 1 圆周角、圆心角定理圆周角、圆心角定理 （20152015四川巴中）如图，在四川巴中）如图，在O O中，弦中，弦ACOBACOB，BOC=50BOC=50，则，则OABOAB的度数为的度数为( )( )A.25A.25 B.50 B.50 C.60 C.60 D.30 D.30【解答解答】BOC=50BOC=50，BAC= BOC=25BAC= BOC=25. .ACOBACOB，OBA=BAC=25OBA=BAC=25. .OA=OBOA=OB，OAB=OBA =25OAB=OBA =25. .【答案答案】A A12 （20142014贵州安顺）如图贵州安顺）如图,MN,MN是半径为是半径为1 1的的O O的直径的直径, ,点点A A在在O O上上,AMN=30,AMN=30, ,点点B B为劣弧为劣弧ANAN的中点的中点,P,P是直径是直径MNMN上上一动点一动点, ,则则PA+PBPA+PB的最小值为的最小值为( )( )A. 2B.1C.2D.2 2【解答解答】作点作点A A关于关于MNMN的对称点的对称点A,A,连接连接AB,AB,交交MNMN于点于点P,P,连接连接OA,OA,OAOA，OB,OB,如下图：如下图：AMN=30AMN=30, ,点点B B为劣弧为劣弧 的中点的中点, ,BON=30BON=30. .AN又又点点A A关于关于MNMN的对称点为的对称点为A,A,AON=AON=2AMN=60AON=AON=2AMN=60, ,AOB=90AOB=90，又又半径为半径为1,1,即即PA+PBPA+PB的最小值为的最小值为【答案答案】A AAB2, 2.1.(20151.(2015历下一模历下一模) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C，D D在在O O上，若上，若CAB=40CAB=40，则，则ADCADC的度数为的度数为( )( )A.25A.25 B.30 B.30 C.45 C.45 D.50 D.502.(20152.(2015市中二模市中二模) )如图，如图，ABAB是是OO的直径，弦的直径，弦CDABCDAB，垂，垂足为足为M M，下列结论不成立的是，下列结论不成立的是( )( )A.CM=DM B.A.CM=DM B.C.ACD=ADC D.OM=MDC.ACD=ADC D.OM=MDCB BD3.3.（20152015烟台）如图，以烟台）如图，以ABCABC的一边的一边ABAB为直径的半圆与为直径的半圆与其他两边其他两边ACAC，BCBC的交点分别为的交点分别为D D，E E，且，且（1 1）试判断）试判断ABCABC的形状，并说明理由的形状，并说明理由. .（2 2）已知半圆的半径为）已知半圆的半径为5 5，BC=12BC=12，求，求sinABDsinABD的值的值. .DE BE.（1 1）ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .理由如下理由如下连接连接AEAE，如图，如图， , ,DAE=BAEDAE=BAE，即，即AEAE平分平分BAC.BAC. AB AB为直径，为直径，AEB=90AEB=90，AEBCAEBC，ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .DE BE(2)A(2)A，B B，E E，D D四点共圆，四点共圆，CDE=CBACDE=CBA，C=CC=C，CDECDECBACBA， . .BC=12BC=12，半径为，半径为5 5，由（由（1 1）得）得AC=AB=10AC=AB=10，CE=6CE=6，即即 ，解得，解得CD=7.2CD=7.2，AD=AC-CD=2.8,AD=AC-CD=2.8,sinABDsinABD= .= .CDCECBACCD61210AD2.87AB1025【名师指点名师指点】垂径定理是圆的重要定理之一，是证明圆中垂径定理是圆的重要定理之一，是证明圆中线段、角相等以及垂直关系的重要依据线段、角相等以及垂直关系的重要依据. .在解决与弦、弧有在解决与弦、弧有关的问题时，常常过圆心向弦引垂线，以利用垂径定理构关的问题时，常常过圆心向弦引垂线，以利用垂径定理构造直角三角形，利用三角形全等、勾股定理及解直角三角造直角三角形，利用三角形全等、勾股定理及解直角三角形的知识解题形的知识解题. .考点考点2 2 垂径定理垂径定理 （20142014浙江丽水）如图浙江丽水）如图, ,半径为半径为5 5的的A A中中, ,弦弦BC,EDBC,ED所对的圆心角分别是所对的圆心角分别是BAC,EAD.BAC,EAD.已知已知DE=6,BACDE=6,BACEAD=180EAD=180, ,则弦则弦BCBC的弦心距等于的弦心距等于( )( )4134A.B.C.4D.322【解答解答】作作AGBCAGBC于点于点G,G,延长延长CACA交交A A于点于点F,F,连接连接BF,BF,如图如图所示所示, ,BAC+EAD=180BAC+EAD=180, ,又又BAC+BAF=180BAC+BAF=180, ,DAE=BAF.DAE=BAF.又又AD=AB,AE=AF,AD=AB,AE=AF,ADEADEABF,ABF,DE=BF=6.DE=BF=6.AGBC,AGBC,CG=BG.CG=BG.CA=AF,CA=AF,AGAG为为CBFCBF的中位线的中位线, ,【答案答案】D D1AGBF 3.21.1.（20152015泰安）如图，泰安）如图，O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆，B=60B=60，O O的半径为的半径为4 4，则，则ACAC的长等于的长等于( )( )A.4 3B.6 3C.2 3D.82.2.（20152015台湾）如图，台湾）如图，ABAB为为O O的直径，的直径，BCBC为为O O的一条的一条弦，自弦，自O O点作点作BCBC的垂线，且交的垂线，且交BCBC于于D D点，若点，若AB=16AB=16，BC=12BC=12，则则OBDOBD的面积为的面积为( )( )A.6 7B.12 7C.15D.303.3.（20152015东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是面直径是1 m1 m，其中水面的宽，其中水面的宽ABAB为为0.8 m0.8 m，则排水管内水的，则排水管内水的深度为深度为_m._m.0.80.8【名师指点名师指点】本考点主要考查圆内接四边形的角之间的关本考点主要考查圆内接四边形的角之间的关系，常利用它将圆外的角向圆内进行转移，解决问题的关系，常利用它将圆外的角向圆内进行转移，解决问题的关键是熟练地掌握圆内接四边形的性质键是熟练地掌握圆内接四边形的性质. .考点考点3 3 圆内接四边形圆内接四边形 (2015(2015江苏南京江苏南京) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是是O O的内接四的内接四边形，边形，BCBC的延长线与的延长线与ADAD的延长线交于点的延长线交于点E E，且，且DC=DE.DC=DE.(1)(1)求证：求证：A=AEBA=AEB；(2)(2)连接连接OEOE，交，交CDCD于点于点F F，OECDOECD，求证：，求证：ABEABE是等边三角是等边三角形形. .【分析分析】(1)(1)根据圆内接四边形的性质可得根据圆内接四边形的性质可得A+BCDA+BCD=180=180，根据邻补角互补可得，根据邻补角互补可得DCE+BCD=180DCE+BCD=180，进而，进而得到得到A=DCEA=DCE，然后利用等边对等角可得，然后利用等边对等角可得DCE=AEBDCE=AEB，进而可得进而可得A=AEB.A=AEB.(2)(2)首先证明首先证明DCEDCE是等边三角形，进而可得是等边三角形，进而可得AEB=60AEB=60，再根据再根据A=AEBA=AEB，可得，可得ABEABE是等腰三角形，进而可得是等腰三角形，进而可得ABEABE是等边三角形是等边三角形. .【解答解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是是O O的内接四边形，的内接四边形，A+BCD=180A+BCD=180. .DCE+BCD=180DCE+BCD=180，A=DCE.A=DCE.DC=DEDC=DE，DCE=AEBDCE=AEB，A=AEB.A=AEB.(2)A=AEB(2)A=AEB，ABEABE是等腰三角形是等腰三角形. .EOCDEOCD，CF=DFCF=DF，EOEO是是CDCD的垂直平分线，的垂直平分线，ED=EC.ED=EC.DC=DEDC=DE，DC=DE=ECDC=DE=EC，DCEDCE是等边三角形，是等边三角形，AEB=60AEB=60，ABEABE是等边三角形是等边三角形. .【易错点津易错点津】不能利用圆的内接四边形的外角等于内对角不能利用圆的内接四边形的外角等于内对角的性质找出角与角的关系，无法将各个条件集中到特殊的的性质找出角与角的关系，无法将各个条件集中到特殊的三角形中三角形中( (如直角三角形或等边三角形如直角三角形或等边三角形).). 如图，已知在如图，已知在ABCABC中，中，ADBCADBC，D D点为垂足，点为垂足，ACBEACBE，E E点为垂足，点为垂足，M M点为点为ABAB边的中点，连接边的中点，连接MEME，MDMD，EDED求证：求证：EMDEMD2DAC.2DAC.【解答解答】MM为为ABAB的中点，的中点，ADBCADBC，BEACBEAC，ME= =MA=MBME= =MA=MB，MD= =MA=MBMD= =MA=MB，ME=MD=MA=MB,ME=MD=MA=MB,AA，B B，D D，E E四点在四点在M M上，上，EMDEMD2DAC.2DAC.1AB21AB21.1.（20152015江苏淮安）如图，四边形江苏淮安）如图，四边形ABCDABCD是是O O的内接四边的内接四边形，若形，若A=70A=70, ,则则C C的度数是的度数是( )( )A.100A.100 B.110 B.110 C.120 C.120 D.130 D.1302.2.（20152015四川凉山）如图，四川凉山）如图，ABCABC内接于内接于O O，OBC=40OBC=40，则则A A的度数为的度数为( )( )A.80A.80 B.100 B.100 C.110 C.110 D.130 D.1303.(20153.(2015浙江台州浙江台州) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，点，点E E在在对角线对角线ACAC上，上，EC=BC=DC.EC=BC=DC.（1 1）若）若CBD=39CBD=39，求，求BADBAD的度数；的度数；（2 2）求证：）求证：1=2.1=2.解：解：(1)BC=CD,(1)BC=CD,BCD=180BCD=180-2-23939=102=102. .又又四边形四边形ABCDABCD为圆内接四边形为圆内接四边形, ,BAD=180BAD=180-102-102=78=78. .（2 2）BC=CD,CBD=CDB.BC=CD,CBD=CDB.又又BAC=BDC,BAC=BDC,CBD=BAE.CBD=BAE.又又CB=CE,CB=CE,CBE=CEB.CBE=CEB.CEB=BAE+2,CEB=BAE+2,BAE+2=CBD+1,BAE+2=CBD+1,1=2.1=2.
展开阅读全文