数学第二部分 空间与图形 第二十二课时 矩形

第第2222课时课时矩矩形形-2-3-1.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形,叫做矩形(长方形).2.矩形的性质:边:(1)矩形的两组对边分别平行;(2)矩形的两组对边分别相等;角:(3)矩形的对角相等,四个角都是直角;对角线:(4)矩形的对角线相等,且互相平分.对称性:(5)矩形既是轴对称图形(2条对称轴),也是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.3.矩形的判定:角:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;对角线:(3)对角线相等的平行四边形是矩形;(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.-4-1.(2017泸州)下列命题是真命题的是 ( D )A.四边都相等的四边形是矩形B.菱形的对角线相等 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线相等的平行四边形是矩形2.(2017兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点D,ADB=30,AB=4,则OC= ( B )A.5B.4C.3.5 D.3-5-3.(2017山西)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到BCD,CD与AB交于点E.若1=35,则2的度数为( A )A.20B.30 C.35D.554.(2017上海)已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是 ( C )A.BAC=DCAB.BAC=DACC.BAC=ABDD.BAC=ADB-6-考点考点1矩形的性质矩形的性质【例1】(2015南平)如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BEAC,CFBD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.【名师点拨】 本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法及性质.要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等.-7-【我的解法】 证明:四边形ABCD为矩形,AC=BD,则BO=CO.BEAC于E,CFBD于F,BEO=CFO=90.又BOE=COF,BOE COF.BE=CF.【题型感悟】 求证不为同一三角形的两线段相等,关键是能够将所证线段放在两三角形,结合已知条件,判定出两三角形全等是解决问题的关键.-8-【考点变式】(2017南宁)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面积.-9-解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,OA=OC,OB=OD,AC=BD,ABC=90,BE=DF,OE=OF,在AOE和COF中,OA=OC,AOE=COF,OE=OF,AOE COF(SAS),AE=CF;(2)OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=OB,AOB=COD=60,AOB是等边三角形,OA=AB=6,AC=2OA=12,-10-考点考点2矩形的判定矩形的判定【例2】(2015湘西)如图,在平行四边形ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分别为E,F.(1)求证:ADE CBF;(2)求证:四边形BFDE为矩形.【名师点拨】 本题考点为矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.(1)由DE与AB垂直,BF与CD垂直,得到一对直角相等,再由ABCD为平行四边形得到AD=BC,对角相等,利用AAS即可的值;(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行,得到CDE为直角,利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值.-11-【我的解法】 证明:(1)DEAB,BFCD,AED=CFB=90,四边形ABCD为平行四边形,AD=BC,A=C,(2)四边形ABCD为平行四边形,CDAB,CDE+DEB=180,DEB=90,CDE=90,CDE=DEB=BFD=90,四边形BFDE为矩形.【题型感悟】 此题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键.-12-【考点变式】(2017安顺)如图,DBAC,且DB= AC,E是AC的中点,(1)求证:BC=DE;(2)连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给ABC添加什么条件,为什么?又DBEC,四边形DBCE是平行四边形.BC=DE.(2)添加AB=BC.理由:DBAE,DB=AE,四边形DBEA是平行四边形. BC=DE,AB=BC,AB=DE. ADBE是矩形.-13-一、选择题1.(2017西宁)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OMAB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为 ( D )2.(2017怀化)如图,在矩形ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=6 cm,则AB的长是 ( A )A.3 cm B.6 cmC.10 cmD.12 cm -14-3.(2017安顺)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为 ( C )A.6 cm B.7 cmC.8 cmD.9 cm-15-二、填空题4.(2016茂名)已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=2.5.(2016无锡)如图,矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的长是3.-16-三、解答题6.(2017日照)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E.(1)求证:DCA EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.DCA EAC(SSS);(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形;理由如下:AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形,CEAE,E=90,由(1)得:DCA EAC,D=E=90,四边形ABCD为矩形.