数学第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程总纲目录教材研读1.直线的倾斜角考点突破2.直线的斜率3.直线方程的五种形式考点二考点二求直线方程考点一直线的倾斜角与斜率考点三考点三直线方程的综合问题教材研读教材研读1.直线的倾斜角直线的倾斜角(1)定义(2)范围:直线的倾斜角的取值范围是0,).2.直线的斜率直线的斜率3.直线方程的五种形式直线方程的五种形式1.直线x-y+a=0的倾斜角为()A.30B.60C.150D.1203答案答案B设直线的倾斜角为,则tan=,0,),=60.33B2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案答案A由题意知=1(m-2),解得m=1.42mmA3.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C答案答案C由Ax+By+C=0(B0),得y=-x-.AC0,BC0,-0,直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,故选C.ABCBABCB4.(2018北京东城期中,11)过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线的方程是x-2y+3=0.答案答案x-2y+3=0解析解析由条件知M点在圆内,故当劣弧最短时,过点M与圆心的直线与直线l垂直,设圆心为O,则O(2,0),kOM=-2,所求直线的斜率k=,所求直线的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.201212125.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值为-2或或1.答案答案-2或1解析解析由题意可知a0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=.=a+2,解得a=-2或a=1.2aa2aa考点一直线的倾斜角与斜率考点一直线的倾斜角与斜率考点突破考点突破典例典例1(1)直线xsin+y+2=0的倾斜角的范围是()A.0,)B.C.D.(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.0,43,4 0,40,4,23答案答案(1)B(2)(-,-1,+)3解析解析(1)设直线的倾斜角为,则有tan=-sin,又sin-1,1,0,),所以0或.(2)如图,kAP=1,kBP=-,直线l的斜率k(-,-1,+).434102 1300 133易错警示易错警示由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tanx在和上的单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当倾斜角为时,直线的斜率不存在.0,2,221-1若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.B.-C.-D.13133223答案答案B由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,可设P(x1,1),Q(7,y1),结合线段PQ的中点坐标为(1,-1),可得x1=-5,y1=-3,即直线l上有两点P(-5,1),Q(7,-3),可得直线l的斜率k=-.1357 13B1-2若将本例(2)中的“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,则直线l的斜率的取值范围是什么?解析解析P(-1,0),A(2,1),B(0,),kAP=,kBP=.如图,可知直线l的斜率的取值范围为.31 02( 1) 13300( 1) 31, 33典例典例2根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.1010考点二求直线方程考点二求直线方程解析解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为,则sin=(00;当k=0时,直线为y=1,符合题意.综上,k的取值范围是k0.(3)依题意得A,B(0,1+2k),且解得k0.20,10,xy2,1,xy 0,120,kk12,0kk120,120,kkkS=|OA|OB|=|1+2k|=(22+4)=4,“=”成立的条件是4k=,此时k=,Smin=4,此时l的方程为x-2y+4=0.121212kk122(12 )kk12144kk121k12规律总结规律总结直线方程的综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题:一般是利用直线方程所表示的x与y的关系将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程根的存在性及个数,不等式的性质,基本不等式等)来解决.3-1过点P(4,1)作直线l,分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点.(1)当AOB的面积最小时,求直线l的方程;(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.解析解析设直线l:+=1(a0,b0),因为直线l经过点P(4,1),所以+=1.(1)因为+=12=,所以ab16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以当a=8,b=2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.(2)因为+=1,a0,b0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.xayb4a1b4a1b4 1a b4ab8x2y4a1b41abab4ba