数学第七章 不等式 第1节 不等式的性质与一元二次不等式 北师大版

第第1节不等式的性质与一元二次不等式节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知知 识识 梳梳 理理1.两个实数比较大小的方法2.不等式的性质3.三个“二次”间的关系x|xx2或xx1Rx|x1xx21.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()诊诊 断断 自自 测测解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab / ac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为 .(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)答案B3.设集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，则MN等于()A.(0，4 B.0，4) C.1，0) D.(1，0解析Mx|x23x40 x|1x4，MN0，4).答案B答案x|x15.已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.解析若a0，则f(x)10恒成立，若a0，则由题意，得综上，得a4，0.答案4，0解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除A，B，D.中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.答案(1)A(2)C规律方法1.比较大小常用的方法：(1)作差法；(2)作商法；(3)函数的单调性法.2.判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.答案(1)D(2)A解析由2x2x30，得(x1)(2x3)0，答案B命题角度命题角度2含参不等式含参不等式【例22】 解关于x的不等式ax222xax(a0).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为1；规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.故不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.答案x|x3或x2解之得3k0.答案D命题角度命题角度2在给定区间上恒成立在给定区间上恒成立【例32】 (一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_. 解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，有以下两种方法：当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.答案命题角度命题角度3给定参数范围的恒成立问题给定参数范围的恒成立问题【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A.(，2)(3，) B.(，1)(2，)C.(，1)(3，) D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4，则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立，所以f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，答案C规律方法(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.1，4B.(，25，)C.(，14，)D.2，5(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析(1)由于x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.(2)二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，