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第第5 5节直线、平面垂直的判定与性质节直线、平面垂直的判定与性质考纲展示考纲展示2.2.能运用公理、定理和已获得的结论能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题简单命题. . 1.1.以立体几何的定义、公理和定理以立体几何的定义、公理和定理为出发点为出发点, ,认识和理解空间中线面认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理垂直的有关性质与判定定理. . 知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.直线直线l l与平面与平面内无数条直线垂直内无数条直线垂直, ,则直线则直线ll吗吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,当这无数条直线相互平行时当这无数条直线相互平行时,l,l与与不一定垂直不一定垂直. .2.2.若平面若平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面,则则吗吗? ?提示提示: :垂直垂直. .3.3.若若, ,则则内任意直线都与内任意直线都与垂直吗垂直吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,平面平面内只有垂直于交线的直线才与内只有垂直于交线的直线才与垂直垂直. .知识梳理知识梳理 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)(1)直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义直线直线l l与平面与平面内的内的 直线都垂直直线都垂直, ,就说直线就说直线l l与平面与平面互相垂直互相垂直. .任意一条任意一条两条相交直线两条相交直线(2)(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理直线与平面垂直的判定定理及性质定理平行平行2.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)(1)定义定义平面的一条斜线和它在平面上的平面的一条斜线和它在平面上的 所成的所成的 , ,叫做这条直线和这叫做这条直线和这个平面所成的角个平面所成的角. .如图如图, , 就是斜线就是斜线APAP与平面与平面所成的角所成的角. .(2)(2)线面角线面角的范围是的范围是 . .射影射影锐角锐角PAOPAO3.3.二面角、平面与平面垂直二面角、平面与平面垂直(1)(1)二面角二面角二面角的定义二面角的定义: :从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. .这这条直线叫做二面角的棱条直线叫做二面角的棱. .这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面. .如图如图, ,记作记作: :二面角二面角-l-l-或二面角或二面角-AB-AB-或二面角或二面角P-AB-Q.P-AB-Q.二面角的平面角二面角的平面角: :在二面角在二面角-l-l-的棱的棱l l上任取一点上任取一点O,O,以点以点O O为垂足为垂足, ,在半平在半平面面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l l的射线的射线OAOA和和OB,OB,则射线则射线OAOA和和OBOB构成的构成的AOBAOB叫做二叫做二面角的平面角面角的平面角. .(2)(2)平面与平面的垂直平面与平面的垂直定义定义: :一般地一般地, ,两个平面相交两个平面相交, ,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是 , ,就说这两就说这两个平面互相垂直个平面互相垂直. .直二面角直二面角垂线垂线平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理交线交线【重要结论重要结论】 1.1.若两平行线中的一条垂直于一个平面若两平行线中的一条垂直于一个平面, ,则另一条也垂直于这个平面则另一条也垂直于这个平面. .2.2.若两条直线同垂直于一个平面若两条直线同垂直于一个平面, ,那么这两条直线平行那么这两条直线平行. .3.3.若一条直线和两个不重合的平面都垂直若一条直线和两个不重合的平面都垂直, ,那么这两个平面平行那么这两个平面平行. .双基自测双基自测 1.1.如果直线如果直线l,ml,m与平面与平面,满足满足:l=:l=,l,m,l,m和和mm, ,那么必那么必有有( ( ) )( (A)A)且且mm ( (B)B)且且lmlm( (C)mC)m且且lmlm ( (D)D)且且B B解析解析: :由由m m,m,m以及面面垂直的判定定理可得以及面面垂直的判定定理可得, ,; ;由由l=l=可得可得l l, ,又又mm, ,所以所以mlml. .综上综上, ,故选故选B.B.2.(2.(20172017安徽宣城第二次调研安徽宣城第二次调研) )已知已知m,nm,n是两条不同的直线是两条不同的直线, ,是两个不是两个不同的平面同的平面, ,给出下列四个命题给出下列四个命题, ,错误的命题是错误的命题是( ( ) )(A)(A)若若m,m,m,m,=n,=n,则则mnmn(B)(B)若若,m,n,m,n, ,则则mnmn(C)(C)若若,=m,=m,则则mm(D)(D)若若,m,m, ,则则mm解析解析: :A.A.由由m,m,m,m,=n,=n,可得可得mnmn, ,正确正确. .B.B.由由,m,n,m,n, ,可得可得mnmn, ,正确正确. .C.C.由由,=m,=m,可得可得mm, ,正确正确. .D.D.由由,m,m, ,则则mm或或m m, ,因此不正确因此不正确. .故选故选D.D.D D3.(3.(20162016甘肃张掖模拟甘肃张掖模拟) )在三棱柱在三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中, ,各棱长相等各棱长相等, ,侧棱垂直于底侧棱垂直于底面面, ,点点D D是侧面是侧面BB1C1CBB1C1C的中心的中心, ,则则ADAD与平面与平面BB1C1CBB1C1C所成角的大小是所成角的大小是( ( ) )(A)30(A)30(B)45(B)45(C)60(C)60(D)90(D)90C C4.(4.(20162016武昌调研武昌调研) )给出下列四个命题给出下列四个命题: :如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内一定存在直线平行于平面内一定存在直线平行于平面;如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面内一定不存在直线垂直于平面内一定不存在直线垂直于平面;如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=l,=l,那么那么ll平面平面;如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面内所有直线都垂直于平面内所有直线都垂直于平面.其中错误的命题是其中错误的命题是.(.(写出所有错误命题的序号写出所有错误命题的序号)解析解析: :借助正方体很容易判断出是正确的借助正方体很容易判断出是正确的, ,只有是错误的只有是错误的. .答案答案: :5.(5.(20162016滨州邹平一中阶段滨州邹平一中阶段) )如图如图, ,二面角二面角-l-l-的大小是的大小是6060, ,线段线段ABAB, ,Bl,ABBl,AB与与l l所成的角为所成的角为3030. .则则ABAB与平面与平面所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是. 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质【例例1 1】 导学号导学号 38486148 (201738486148 (2017陕西师范大学附属中学二模陕西师范大学附属中学二模) )如图如图,AC,AC是圆是圆O O的 直 径的 直 径 , , 点点 B B 在 圆在 圆 O O 上上 , B A C = 3 0, B A C = 3 0 , B M A C, B M A C 交交 A CA C 于 点于 点 M , E A M , E A 平 面平 面ABC,FCEA,AC=4,ABC,FCEA,AC=4,EA=3,FC=1.EA=3,FC=1.(1)(1)证明证明:EMBF;:EMBF;(1)(1)证明证明: :因为因为EAEA平面平面ABC,BMABC,BM平面平面ABC,ABC,所以所以EABM,EABM,又因为又因为BMAC,EAAC=A,BMAC,EAAC=A,所以所以BMBM平面平面ACFE,ACFE,EMEM平面平面ACFE,ACFE,所以所以BMEM.BMEM.因为因为ACAC是圆是圆O O的直径的直径, ,所以所以ABC=90ABC=90. .又因为又因为BAC=30BAC=30,AC=4,AC=4,所以所以AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.因为因为EAEA平面平面ABC,FCEA,FC=1,ABC,FCEA,FC=1,所以所以FCFC平面平面ABC,ABC,EAMEAM与与FCMFCM都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形, ,所以所以EMA=FMC=45EMA=FMC=45, ,所以所以EMF=90EMF=90, ,即即EMMF.EMMF.因为因为MFBM=M,MFBM=M,所以所以EMEM平面平面MBF.MBF.又又BFBF平面平面MBF,MBF,所以所以EMBF.EMBF.3(2)(2)求三棱锥求三棱锥E-BMFE-BMF的体积的体积. .反思归纳反思归纳 (1)(1)证明线线垂直的常用方法证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系利用特殊图形中的垂直关系; ;利用等腰三角形底边中线的性质利用等腰三角形底边中线的性质; ;利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理; ;利用直线与平面垂直的性质利用直线与平面垂直的性质. .(2)(2)证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理; ;利用利用“两平行线中的一条与平面垂直两平行线中的一条与平面垂直, ,则另一条也与这个平面垂直则另一条也与这个平面垂直”; ;利用利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个一条直线垂直于两个平行平面中的一个, ,则与另一个也垂直则与另一个也垂直”; ;利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理. .跟踪训练跟踪训练1:1:(2017(2017安徽合肥第一次质检安徽合肥第一次质检) )已知四棱锥已知四棱锥P P- -ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD为菱形为菱形, ,且且PAPA底面底面ABCD,ABC=60ABCD,ABC=60, ,点点E,FE,F分别为分别为BC,PDBC,PD的中点的中点,PA=AB=2.,PA=AB=2.(1)(1)证明证明:AE:AE平面平面PAD;PAD;(1)(1)证明证明: :由由PAPA底面底面ABCDABCD得得PAAE.PAAE.底面底面ABCDABCD为菱形为菱形,ABC=60,ABC=60, ,得得ABCABC为等边三角形为等边三角形, ,又因为又因为E E为为BCBC的中点的中点, ,得得AEBC,AEBC,因为因为BCAD,BCAD,所以所以AEAD.AEAD.因为因为PAAD=A,PAAD=A,所以所以AEAE平面平面PAD.PAD.(2)(2)求多面体求多面体P-AECFP-AECF的体积的体积. .考点二考点二 平面与平面垂直的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质考查角度考查角度1:1:面面垂直的判定面面垂直的判定【例例2 2】 导学号导学号 38486149 (201738486149 (2017广东汕头三模广东汕头三模) )如图如图, ,在多面体在多面体ABCDEABCDE中中,ABDE,ABDE是平行四边形是平行四边形,AB,AC,AD,AB,AC,AD两两垂直两两垂直. .(1)(1)求证求证: :平面平面ACDACD平面平面ECD;ECD;(1)(1)证明证明: :因为因为ABAC,ABAD,ACAD=A,ABAC,ABAD,ACAD=A,所以所以ABAB平面平面ACD,ACD,因为因为ABDEABDE是平行四边形是平行四边形, ,所以所以ABDE,ABDE,所以所以DEDE平面平面ACD,ACD,因为因为DEDE平面平面CDE,CDE,所以平面所以平面ACDACD平面平面ECD.ECD.反思归纳反思归纳 面面垂直判定的两种方法与一个转化面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)(1)两种方法两种方法: :面面垂直的定义面面垂直的定义; ;面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理( (a,aa,a).).(2)(2)一个转化一个转化: :在已知两个平面垂直时在已知两个平面垂直时, ,一般要用性质定理进行转化一般要用性质定理进行转化. .在一个平面内作交线的垂线在一个平面内作交线的垂线, ,转化为线面垂直转化为线面垂直, ,然后进一步转化为线线垂直然后进一步转化为线线垂直. .反思归纳反思归纳 面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用(1)(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据, ,运用时要运用时要注意注意“平面内的直线平面内的直线”. .(2)(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面, ,它们的交线也垂直于第三个平面它们的交线也垂直于第三个平面. .考点三考点三 线面角与二面角的求法线面角与二面角的求法反思归纳反思归纳 空间线面角、二面角的求法空间线面角、二面角的求法(1)(1)线面角的求法线面角的求法: :作出垂线作出垂线, ,确定垂足确定垂足, ,找出斜线在平面上的射影找出斜线在平面上的射影. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法直接法直接法: :根据概念直接作根据概念直接作, ,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边, ,就可就可以取棱的中点以取棱的中点. .垂面法垂面法: :过二面角棱上一点作棱的垂面过二面角棱上一点作棱的垂面, ,则垂面与二面角的两个半平面的交则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角线所成的角就是二面角的平面角或其补角. .垂线法垂线法: :过二面角的一个半平面内一点过二面角的一个半平面内一点A,A,作另一个半平面的垂线作另一个半平面的垂线, ,垂足为垂足为B,B,再从垂足再从垂足B B向二面角的棱作垂线向二面角的棱作垂线, ,垂足为垂足为C,C,连接连接AC,AC,则则ACBACB就是二面角的平面就是二面角的平面角或其补角角或其补角. .备选例题备选例题 【例例1 1】 如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,PA,PA平面平面ABCD,PA=AD=2,ABCD,PA=AD=2,AB=1,BMPDAB=1,BMPD于点于点M.M.(1)(1)求证求证:AMPD;:AMPD;(1)(1)证明证明: :因为因为PAPA平面平面ABCD,ABABCD,AB平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAAB.PAAB.因为因为ABAD,ADPA=A,ADABAD,ADPA=A,AD平面平面PAD,PAPAD,PA平面平面PAD,PAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.因为因为PDPD平面平面PAD,PAD,所以所以ABPD.ABPD.因为因为BMPD,ABBM=B,ABBMPD,ABBM=B,AB平面平面ABM,BMABM,BM平面平面ABM,ABM,所以所以PDPD平面平面ABM.ABM.因为因为AMAM平面平面ABM,ABM,所以所以AMPD.AMPD.(2)(2)求直线求直线CDCD与平面与平面ACMACM所成角的余弦值所成角的余弦值. .(1)(1)证明证明: :由题意由题意, ,知知SAAB,SAAB,又又SAAD,ABAD=A,SAAD,ABAD=A,所以所以SASA平面平面ABCD.ABCD.(2)(2)求二面角求二面角E-AC-DE-AC-D的正切值的正切值. . 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化审题指导审题指导答题模板答题模板: :第一步第一步: :确定折叠前后的各量之间的关系确定折叠前后的各量之间的关系, ,搞清折叠前后的变化量和不变量搞清折叠前后的变化量和不变量; ;第二步第二步: :在折叠后的图形中确定线和面的位置关系在折叠后的图形中确定线和面的位置关系, ,明确需要用到的线面明确需要用到的线面; ;第三步第三步: :利用判定定理或性质定理进行证明利用判定定理或性质定理进行证明; ;第四步第四步: :利用所给数据求边长和面积等利用所给数据求边长和面积等, ,进而求体积进而求体积. .
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